- Uma barra homogênea de comprimento L e espessura b se encontra apoiada simetricamente sobre um hemisfério fixo rugoso de raio R. A barra é inclinada lentamente até ficar na iminência de tombar e, nessa situaçāo, ela nāo desliza. Sabendo que o ângulo entre a barra e a horizontal, nessa situação, é muito pequeno, encontre o raio do hemisfério.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado descreve uma barra homogênea (retângulo) de comprimento
e espessura (ou altura) . - A barra está apoiada simetricamente sobre um hemisfério fixe e rugoso de raio
. - A barra é inclinada lentamente até ficar na iminência de tombar; nessa situação ela não desliza. Diz-se também que o ângulo entre a barra e a horizontal, nessa situação, é muito pequeno.
- O enunciado pede: encontrar o raio do hemisfério
(expressão em função de e ), sob a condição descrita.
Informações importantes extraídas do enunciado/imagem:
- Comprimento da barra:
. - Espessura (altura) da barra:
. - Raio do hemisfério (a determinar):
. - A situação de interesse é a da iminência de tombar, com ângulo entre barra e horizontal muito pequeno (usar aproximações para ângulos pequenos quando necessário).
- A barra está apoiada simetricamente inicialmente (o centro da barra alinhado com o zênite do hemisfério).
Passo 2
Ideia física e geométrica que vamos usar (intuição antes de calcular).
- Quando a barra está praticamente horizontal e apoiada no topo do hemisfério, a superfície do hemisfério é aproximadamente uma curva circular de raio
, e a linha média inferior da barra (a face que toca o hemisfério) fica a uma certa distância (a “flecha” ou sagitta) do centro do hemisfério. - A barra tem espessura
: o centro geométrico (centro de massa) da barra está a uma distância acima da face inferior da barra. Portanto, se a face inferior tangencia o hemisfério em seu ponto mais próximo, a distância entre o centro do hemisfério e o centro da barra (projeção radial) é . - Para pequenos ângulos de inclinação (situação pedida), a curva do hemisfério sob a barra pode ser tratada localmente como um arco de círculo, e a face inferior da barra pode ser considerada quase uma corda desse círculo. A distância entre o centro do círculo (do hemisfério) e essa corda (a “flecha” do arco) será aproximadamente
. - Existe uma relação geométrica conhecida entre o raio
de um círculo, a semi‑corda e a sagitta (a distância do centro do círculo até a corda): a fórmula exata é Vamos usar essa fórmula com e com a sagitta relacionada à espessura . Para ângulos muito pequenos, podemos usar a aproximação e desprezar o termo quando conveniente.
Observação didática curta sobre a fórmula da sagitta:
- Se uma corda de comprimento
está a uma distância do centro de um círculo de raio , então desenhando o triângulo retângulo que liga o centro do círculo ao meio da corda e à extremidade da corda, obtemos . Resolvendo para obtemos a fórmula exata dada acima. Vou desenvolver isso no próximo passo.
Passo 3
Derivação geométrica exata da relação entre
, a semi‑corda
e a sagitta
.
- Considere o círculo de raio
. Tome uma corda de comprimento ; a metade dessa corda tem comprimento . Denote por a distância do centro do círculo até a corda (a sagitta). Então a distância do centro do círculo até a extremidade da corda (ponto na circunferência) é , e a distância do centro até o meio da corda é . Ao formar o triângulo retângulo que tem catetos e e hipotenusa , vale - Desenvolvendo:
- Isolando
: - Esta é a fórmula exata. Agora vamos aplicar ao nosso problema.
Passo 4
Identificar a sagitta
no problema e aproximar para ângulo pequeno.
- No nosso problema, a face inferior da barra está a uma distância
do plano que passa pelo centro da barra até a face inferior (o centro da barra está a acima da face inferior). Se imaginarmos a face inferior da barra como a corda do círculo (a seção do hemisfério em que a barra repousa), a sagitta que separa o centro do hemisfério até essa corda é precisamente . (Explicação: o ponto de menor distância entre o centro do hemisfério e a face inferior da barra é o ponto de tangência quando a barra está quase horizontal; a distância entre o centro do hemisfério e esse ponto da face inferior é ; o centro da barra está a acima desse ponto; por isso a sagitta que mede o afastamento do centro do círculo à linha média inferior é .) - Portanto, na fórmula anterior tome
e .
Passo 5
Substituir na fórmula exata e simplificar.
- Substituindo
e em obtemos - Calcule passo a passo:
então o primeiro termo é O segundo termo é - Assim a expressão exata fica
Passo 6
Usar a aproximação para ângulo muito pequeno e justificar desprezar termos pequenos.
-
O enunciado diz que o ângulo entre a barra e a horizontal é muito pequeno. Isso significa que a sagitta
é muito menor do que a semi‑corda ; em fórmulas, , ou . Nesse caso o segundo termo é muito menor do que o primeiro termo e pode ser desprezado na aproximação principal. -
Portanto, para a situação pedida (ângulo muito pequeno), obtemos a relação aproximada
-
Nota explicativa: se for desejada a expressão exata sem aproximação, émas na situação de interesse (ângulo muito pequeno, barra longa comparada com a espessura) o termo
é negligenciável ante .
Passo 7
Interpretação física curta (por que essa geometria aparece).
- A fórmula indica que, para que o apoio do hemisfério seja “suave” e a barra fique apenas na iminência de tombar com pequeno ângulo, o raio do hemisfério precisa ser proporcional a
. Ou seja, barras longas e finas precisam de um hemisfério com raio grande para que a curvatura seja suficientemente suave (pequena flecha ) de modo que o equilíbrio ao redor do topo seja quase neutro e o ângulo seja pequeno. - A derivação é essencialmente geométrica: relaciona a curvatura do hemisfério com a flecha
criada pela espessura da barra.