1. Uma barra homogênea de comprimento L e espessura b se encontra apoiada simetricamente sobre um hemisfério fixo rugoso de raio R. A barra é inclinada lentamente até ficar na iminência de tombar e, nessa situaçāo, ela nāo desliza. Sabendo que o ângulo entre a barra e a horizontal, nessa situação, é muito pequeno, encontre o raio do hemisfério.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado descreve uma barra homogênea (retângulo) de comprimento L e espessura (ou altura) b.
  • A barra está apoiada simetricamente sobre um hemisfério fixe e rugoso de raio R.
  • A barra é inclinada lentamente até ficar na iminência de tombar; nessa situação ela não desliza. Diz-se também que o ângulo entre a barra e a horizontal, nessa situação, é muito pequeno.
  • O enunciado pede: encontrar o raio do hemisfério R (expressão em função de L e b), sob a condição descrita.
Informações importantes extraídas do enunciado/imagem:
  • Comprimento da barra: L.
  • Espessura (altura) da barra: b.
  • Raio do hemisfério (a determinar): R.
  • A situação de interesse é a da iminência de tombar, com ângulo entre barra e horizontal muito pequeno (usar aproximações para ângulos pequenos quando necessário).
  • A barra está apoiada simetricamente inicialmente (o centro da barra alinhado com o zênite do hemisfério).

Passo 2

Ideia física e geométrica que vamos usar (intuição antes de calcular).
  • Quando a barra está praticamente horizontal e apoiada no topo do hemisfério, a superfície do hemisfério é aproximadamente uma curva circular de raio R, e a linha média inferior da barra (a face que toca o hemisfério) fica a uma certa distância (a “flecha” ou sagitta) do centro do hemisfério.
  • A barra tem espessura b: o centro geométrico (centro de massa) da barra está a uma distância b/2 acima da face inferior da barra. Portanto, se a face inferior tangencia o hemisfério em seu ponto mais próximo, a distância entre o centro do hemisfério e o centro da barra (projeção radial) é R + b/2.
  • Para pequenos ângulos de inclinação (situação pedida), a curva do hemisfério sob a barra pode ser tratada localmente como um arco de círculo, e a face inferior da barra pode ser considerada quase uma corda desse círculo. A distância entre o centro do círculo (do hemisfério) e essa corda (a “flecha” do arco) será aproximadamente s=b/2.
  • Existe uma relação geométrica conhecida entre o raio R de um círculo, a semi‑corda a=L/2 e a sagitta s (a distância do centro do círculo até a corda): a fórmula exata é R=\frac{a^{2}}{2s}+\frac{s}{2}.Vamos usar essa fórmula com a=L/2 e com a sagitta s relacionada à espessura b. Para ângulos muito pequenos, podemos usar a aproximação s\ll a e desprezar o termo s/2 quando conveniente.
Observação didática curta sobre a fórmula da sagitta:
  • Se uma corda de comprimento L está a uma distância s do centro de um círculo de raio R, então desenhando o triângulo retângulo que liga o centro do círculo ao meio da corda e à extremidade da corda, obtemos R^{2} - a^{2} = (R-s)^{2}. Resolvendo para R obtemos a fórmula exata dada acima. Vou desenvolver isso no próximo passo.

Passo 3

Derivação geométrica exata da relação entre R, a semi‑corda a=L/2 e a sagitta s.
  • Considere o círculo de raio R. Tome uma corda de comprimento L; a metade dessa corda tem comprimento a=L/2. Denote por s a distância do centro do círculo até a corda (a sagitta). Então a distância do centro do círculo até a extremidade da corda (ponto na circunferência) é R, e a distância do centro até o meio da corda é s. Ao formar o triângulo retângulo que tem catetos a e R-s e hipotenusa R, vale a^{2} + (R - s)^{2} = R^{2}.
  • Desenvolvendo: a^{2} + R^{2} - 2Rs + s^{2} = R^{2} \quad\Rightarrow\quad a^{2} = 2Rs - s^{2}.
  • Isolando R: 2Rs = a^{2} + s^{2} \quad\Rightarrow\quad R = \frac{a^{2}+s^{2}}{2s} = \frac{a^{2}}{2s} + \frac{s}{2}.
  • Esta é a fórmula exata. Agora vamos aplicar ao nosso problema.

Passo 4

Identificar a sagitta s no problema e aproximar para ângulo pequeno.
  • No nosso problema, a face inferior da barra está a uma distância b/2 do plano que passa pelo centro da barra até a face inferior (o centro da barra está a b/2 acima da face inferior). Se imaginarmos a face inferior da barra como a corda do círculo (a seção do hemisfério em que a barra repousa), a sagitta que separa o centro do hemisfério até essa corda é precisamente s=b/2. (Explicação: o ponto de menor distância entre o centro do hemisfério e a face inferior da barra é o ponto de tangência quando a barra está quase horizontal; a distância entre o centro do hemisfério e esse ponto da face inferior é R; o centro da barra está a b/2 acima desse ponto; por isso a sagitta que mede o afastamento do centro do círculo à linha média inferior é s=b/2.)
  • Portanto, na fórmula anterior tome a=L/2 e s=b/2.

Passo 5

Substituir na fórmula exata e simplificar.
  • Substituindo a=L/2 e s=b/2 em R = \frac{a^{2}}{2s} + \frac{s}{2},obtemos R = \frac{(L/2)^{2}}{2\cdot (b/2)} + \frac{b/2}{2}.
  • Calcule passo a passo: (L/2)^{2} = \frac{L^{2}}{4},\qquad 2\cdot (b/2)=b,então o primeiro termo é \frac{(L/2)^{2}}{2\cdot (b/2)} = \frac{L^{2}/4}{b} = \frac{L^{2}}{4b}.O segundo termo é \frac{b/2}{2} = \frac{b}{4}.
  • Assim a expressão exata fica R = \frac{L^{2}}{4b} + \frac{b}{4}.

Passo 6

Usar a aproximação para ângulo muito pequeno e justificar desprezar termos pequenos.
  • O enunciado diz que o ângulo entre a barra e a horizontal é muito pequeno. Isso significa que a sagitta s=b/2 é muito menor do que a semi‑corda a=L/2; em fórmulas, s \ll a, ou b \ll L. Nesse caso o segundo termo \dfrac{b}{4} é muito menor do que o primeiro termo \dfrac{L^{2}}{4b} e pode ser desprezado na aproximação principal.
  • Portanto, para a situação pedida (ângulo muito pequeno), obtemos a relação aproximada
    R \approx \frac{L^{2}}{4b}.
  • Nota explicativa: se for desejada a expressão exata sem aproximação, é
    R = \frac{L^{2}}{4b} + \frac{b}{4};
    mas na situação de interesse (ângulo muito pequeno, barra longa comparada com a espessura) o termo \dfrac{b}{4} é negligenciável ante \dfrac{L^{2}}{4b}.

Passo 7

Interpretação física curta (por que essa geometria aparece).
  • A fórmula indica que, para que o apoio do hemisfério seja “suave” e a barra fique apenas na iminência de tombar com pequeno ângulo, o raio do hemisfério precisa ser proporcional a L^{2}/b. Ou seja, barras longas e finas precisam de um hemisfério com raio grande para que a curvatura seja suficientemente suave (pequena flecha s=b/2) de modo que o equilíbrio ao redor do topo seja quase neutro e o ângulo seja pequeno.
  • A derivação é essencialmente geométrica: relaciona a curvatura do hemisfério com a flecha b/2 criada pela espessura da barra.

Resposta

R\approx\dfrac{L^{2}}{4b}

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