Questão 3. (a) Mostre que, para um objeto que pode girar em torno dos eixos
ou
:
(b) A soma
é invariante sob rotações do sistema de coordenadas?
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e os dados que vamos usar.
-
O enunciado tem duas partes:
(a) Mostrar uma relação para um corpo que pode girar em torno dos eixosou .
(b) Verificar se a somaé invariante sob rotações do sistema de coordenadas. -
Hipótese natural (implícita): o corpo rígido pode ser tratado como um conjunto de partículas puntuais com massas
em posições medidas em relação ao mesmo ponto de referência (a origem). Essa é a descrição padrão para derivar momentos de inércia. -
O que vou provar:
(i) as fórmulas dos momentos de inércia em torno dos eixos, obtidas a partir da energia cinética de rotação;
(ii) a expressão para a somae se essa soma permanece a mesma ao rotacionar o sistema de coordenadas.
Passo 2
Definição física e ideia para obter
.
- Quando o corpo gira em torno do eixo
com velocidade angular (sentido arbitrário), cada partícula localizada em descreve um movimento circular em um plano perpendicular ao eixo . A distância perpendicular da partícula ao eixo é
- A velocidade linear da partícula devido à rotação é
. A energia cinética de rotação total é a soma das energias cinéticas das partículas:
- Factorizando
obtemos
- Pela definição usual, escreve-se
. Comparando, obtemos a expressão de .
Passo 3
Conclusão explícita para
e análogas para
.
- Da comparação do passo anterior segue
- Fazendo o mesmo raciocínio para rotação em torno do eixo
: a distância perpendicular ao eixo é , logo
- Para o eixo
:
Essas são as fórmulas padrão dos momentos de inércia em torno dos eixos coordenados, obtidas diretamente da energia cinética de rotação.
Passo 4
Calcular a soma
de forma algébrica e simples.
- Some as três expressões:
- Definindo
(o quadrado da distância da partícula à origem), a soma fica
Passo 5
Interpretação geométrica e argumento de invariância por rotações (resposta ao item (b)).
- Uma rotação do sistema de coordenadas (ou equivalente: escolher um novo sistema obtido por rotação do anterior) é representada por uma transformação ortogonal
que preserva distâncias e produto escalar. Ou seja, sob rotação as coordenadas de cada partícula mudam para mas mantêm
- Como no passo anterior mostramos que
e
é preservado por rotações, conclui-se que a soma
é invariante sob rotações do sistema de coordenadas.
- Observação alternativa (mais “matricial”): o tensor de inércia
tem traço . Sob mudança de base ortogonal o traço é preservado, logo a soma dos autovalores (momentos principais) não muda — outra forma de ver a invariância.
Passo 6
Resumo didático rápido para usar na prova (passos replicáveis):
- Para obter
em torno de um eixo, calcule a distância perpendicular de cada partícula ao eixo; então . - Para os eixos coordenados: memorizar as fórmulas
- Para testar invariância: some as três e obtem
. Como não muda ao rotacionar o referencial, a soma é invariante.
Força aí — você já tem a forma prática para calcular
e a razão pela qual a soma é uma quantidade geométrica (invariante).
Resposta
(a)
, e
.\n
(b) Sim — a soma é invariante sob rotações porque ela é
e cada
é preservado por rotações.
(b) Sim — a soma