Questão 3. (a) Mostre que, para um objeto que pode girar em torno dos eixos x, y ou z :
(b) A soma I_{x}+I_{y}+I_{z} é invariante sob rotações do sistema de coordenadas?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e os dados que vamos usar.
  • O enunciado tem duas partes:
    (a) Mostrar uma relação para um corpo que pode girar em torno dos eixos x, y ou z.
    (b) Verificar se a soma I_{x}+I_{y}+I_{z} é invariante sob rotações do sistema de coordenadas.
  • Hipótese natural (implícita): o corpo rígido pode ser tratado como um conjunto de partículas puntuais com massas m_i em posições (x_i,y_i,z_i) medidas em relação ao mesmo ponto de referência (a origem). Essa é a descrição padrão para derivar momentos de inércia.
  • O que vou provar:
    (i) as fórmulas dos momentos de inércia em torno dos eixos x,y,z, obtidas a partir da energia cinética de rotação;
    (ii) a expressão para a soma I_x+I_y+I_z e se essa soma permanece a mesma ao rotacionar o sistema de coordenadas.

Passo 2

Definição física e ideia para obter I_x.
  • Quando o corpo gira em torno do eixo x com velocidade angular \omega (sentido arbitrário), cada partícula i localizada em (x_i,y_i,z_i) descreve um movimento circular em um plano perpendicular ao eixo x. A distância perpendicular da partícula ao eixo x é
\rho_i=\sqrt{y_i^{2}+z_i^{2}}.
  • A velocidade linear da partícula devido à rotação é v_i=\omega\,\rho_i. A energia cinética de rotação total é a soma das energias cinéticas das partículas:
T=\sum_{i}\tfrac{1}{2}m_i v_i^{2}=\sum_{i}\tfrac{1}{2}m_i(\omega^{2}\rho_i^{2}).
  • Factorizando \tfrac{1}{2}\omega^{2} obtemos
T=\tfrac{1}{2}\omega^{2}\sum_{i}m_i(y_i^{2}+z_i^{2}).
  • Pela definição usual, escreve-se T=\tfrac{1}{2}I_x\omega^{2}. Comparando, obtemos a expressão de I_x.

Passo 3

Conclusão explícita para I_x e análogas para I_y, I_z.
  • Da comparação do passo anterior segue
I_x=\sum_{i} m_i\bigl(y_i^{2}+z_i^{2}\bigr).
  • Fazendo o mesmo raciocínio para rotação em torno do eixo y: a distância perpendicular ao eixo y é \sqrt{z_i^{2}+x_i^{2}}, logo
I_y=\sum_{i} m_i\bigl(z_i^{2}+x_i^{2}\bigr).
  • Para o eixo z:
I_z=\sum_{i} m_i\bigl(x_i^{2}+y_i^{2}\bigr).
Essas são as fórmulas padrão dos momentos de inércia em torno dos eixos coordenados, obtidas diretamente da energia cinética de rotação.

Passo 4

Calcular a soma I_x+I_y+I_z de forma algébrica e simples.
  • Some as três expressões:
\begin{aligned} I_x+I_y+I_z &=\sum_{i} m_i\bigl(y_i^{2}+z_i^{2}\bigr) +\sum_{i} m_i\bigl(z_i^{2}+x_i^{2}\bigr) +\sum_{i} m_i\bigl(x_i^{2}+y_i^{2}\bigr)\\[6pt] &=\sum_{i} m_i\bigl(2x_i^{2}+2y_i^{2}+2z_i^{2}\bigr)\\[6pt] &=2\sum_{i} m_i\bigl(x_i^{2}+y_i^{2}+z_i^{2}\bigr). \end{aligned}
  • Definindo r_i^{2}=x_i^{2}+y_i^{2}+z_i^{2} (o quadrado da distância da partícula i à origem), a soma fica
I_x+I_y+I_z=2\sum_{i} m_i r_i^{2}.]

Passo 5

Interpretação geométrica e argumento de invariância por rotações (resposta ao item (b)).
  • Uma rotação do sistema de coordenadas (ou equivalente: escolher um novo sistema obtido por rotação do anterior) é representada por uma transformação ortogonal \mathbf{R} que preserva distâncias e produto escalar. Ou seja, sob rotação as coordenadas de cada partícula mudam para (x'_i,y'_i,z'_i) mas mantêm
{r'_i}^{2}={x'_i}^{2}+{y'_i}^{2}+{z'_i}^{2}=x_i^{2}+y_i^{2}+z_i^{2}=r_i^{2}.
  • Como no passo anterior mostramos que
I_x+I_y+I_z=2\sum_{i} m_i r_i^{2},
e r_i^{2} é preservado por rotações, conclui-se que a soma I_x+I_y+I_z é invariante sob rotações do sistema de coordenadas.
  • Observação alternativa (mais “matricial”): o tensor de inércia \mathbf{I} tem traço \operatorname{tr}\mathbf{I}=I_x+I_y+I_z. Sob mudança de base ortogonal \mathbf{I}'=\mathbf{R}\mathbf{I}\mathbf{R}^{T} o traço é preservado, logo a soma dos autovalores (momentos principais) não muda — outra forma de ver a invariância.

Passo 6

Resumo didático rápido para usar na prova (passos replicáveis):
  • Para obter I em torno de um eixo, calcule a distância perpendicular \rho de cada partícula ao eixo; então I=\sum m_i \rho_i^{2}.
  • Para os eixos coordenados: memorizar as fórmulas
I_x=\sum_{i} m_i\bigl(y_i^{2}+z_i^{2}\bigr),\qquad I_y=\sum_{i} m_i\bigl(z_i^{2}+x_i^{2}\bigr),\qquad I_z=\sum_{i} m_i\bigl(x_i^{2}+y_i^{2}\bigr).
  • Para testar invariância: some as três e obtem 2\sum m_i r_i^{2}. Como r_i^{2} não muda ao rotacionar o referencial, a soma é invariante.
Força aí — você já tem a forma prática para calcular I_x,I_y,I_z e a razão pela qual a soma é uma quantidade geométrica (invariante).

Resposta

(a) I_x=\sum_{i} m_i\bigl(y_i^{2}+z_i^{2}\bigr),\quad I_y=\sum_{i} m_i\bigl(z_i^{2}+x_i^{2}\bigr),\quad I_z=\sum_{i} m_i\bigl(x_i^{2}+y_i^{2}\bigr), e I_x+I_y+I_z=2\sum_{i} m_i\bigl(x_i^{2}+y_i^{2}+z_i^{2}\bigr).\n
(b) Sim — a soma I_x+I_y+I_z é invariante sob rotações porque ela é 2\sum_{i} m_i r_i^{2} e cada r_i^{2} é preservado por rotações.

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