A barra A B com largura b=50 \mathrm{~mm} e espessura t=6 \mathrm{~mm} é utilizada para suportar a extremidade de uma viga horizontal. Sabendo que a tensăo normal média na barra é - 138 MPa e que a tensão de cisalhamento média em cada um dos dois pinos é 83 MPa determine
o diâmetro d dos pinos

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro d dos pinos. As informações fornecidas são:
b = 50\\ \mathrm{mm},\quad t = 6\\ \mathrm{mm}
A tensão normal média na barra é \sigma_{\text{média}} = -138\\ \mathrm{MPa}é (sinal negativo indica compressão) e a tensão de cisalhamento média em cada um dos dois pinos é \tau_{\text{média}} = 83\\ \mathrm{MPa}é.
Pergunta única: determinar o diâmetro d dos pinos.

Passo 2

Primeiro vamos achar a força axial N na barra a partir da tensão normal média. A área da seção reta da barra (retângulo) é
A_{\text{barra}} = b\cdot t = 50\\ \mathrm{mm}\times 6\\ \mathrm{mm} = 300\\ \mathrm{mm}^2.
A relação entre tensão normal média \sigma_{\text{média}}é, força axial N e área é a fórmula básica:
\sigma_{\text{média}} = \frac{N}{A_{\text{barra}}}.é
Nessa fórmula, \sigma_{\text{média}}é é a tensão média (N/mm ^2), N é a força axial (N) e A_{\text{barra}} é a área (mm ^2). Portanto
N = \sigma_{\text{média}}\;A_{\text{barra}}.é
Substituindo os valores (lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2):
N = (-138)\times 300 = -41400\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo só indica compressão; o módulo da força é |N|=41400\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Agora relacionamos essa força axial com a carga de cisalhamento nos pinos. O enunciado fala em “cada um dos dois pinos”, ou seja, a força axial total é transmitida por dois pinos que compartilham a carga. Portanto assumimos que a carga de cisalhamento é dividida igualmente entre os dois pinos. Assim a força de cisalhamento em cada pino é
V_{\text{pino}} = \frac{|N|}{2} = \frac{41400}{2} = 20700\\ \mathrm{N}.
Aqui fazemos a suposição natural (padrão em muitos exercícios): cada pino trabalha em cisalhamento simples (uma única superfície de cisalhamento por pino). Se cada pino tivesse duas superfícies de cisalhamento (cisalhamento duplo), a área efetiva seria diferente e o cálculo mudaria — mas o enunciado indica diretamente a tensão de cisalhamento em cada pino, então usamos cisalhamento simples por pino.

Passo 4

A relação entre tensão de cisalhamento média \tau_{\text{média}}é, força cortante V e área da seção do pino A_{\text{pino}} é
\tau_{\text{média}} = \frac{V_{\text{pino}}}{A_{\text{pino}}}.é
Aqui \tau_{\text{média}}é está em \mathrm{N/mm}^2, V_{\text{pino}} em N e A_{\text{pino}} em mm ^2. Rearranjando para obter a área necessária do pino:
A_{\text{pino}} = \frac{V_{\text{pino}}}{\tau_{\text{média}}}.é
Substituindo os valores:
A_{\text{pino}} = \frac{20700}{83}\\ \mathrm{mm}^2 \approx 249{,}3975904\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

A área da seção transversal de um pino circular é
A_{\text{pino}} = \frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro do pino (mm). Igualando à área necessária e isolando d,
\frac{\pi d^2}{4} = 249{,}3975904\quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{\frac{4A_{\text{pino}}}{\pi}}.
Substituindo A_{\text{pino}} na expressão:
d = \sqrt{\frac{4\times 249{,}3975904}{\pi}}.

Resposta

d=17{,}82\\ \mathrm{mm}

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