8.32 Um tubo de aço com 300 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de uma chapa de aço com espessura de 6 mm soldada ao longo de uma hélice, que forma um ângulo de 25^{\circ} \mathrm{com} um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que as tensões normal e de cisalhamento máximas admissíveis nas direções, respectivamente, normal e tangencial à solda são \sigma= 50 MPa e \tau=30 \mathrm{MPa}, determine a intensidade P da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo.

Passo 1

O enunciado dá um tubo de aço com diâmetro externo \,D_o=300\\ \mathrm{mm}\, e espessura da chapa \,t=6\\ \mathrm{mm}\,. A chapa foi soldada ao longo de uma hélice cuja direção forma um ângulo de 25^\circ com um plano perpendicular ao eixo do tubo. As tensões admissíveis na solda, nas direções normal e tangencial à solda, são \sigma_{\text{adm}}=50\\ \mathrm{MPa} (normal) e \tau_{\text{adm}}=30\\ \mathrm{MPa} (cisalhamento).
O que a questão pede: determinar a intensidade \,P\, da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo sem que a tensão normal na solda exceda \,50\\ \mathrm{MPa}\, nem a tensão de cisalhamento exceda \,30\\ \mathrm{MPa}.
Informações relevantes listadas:
D_o=300\\ \mathrm{mm},\quad t=6\\ \mathrm{mm},\quad \text{ângulo com plano perpendicular }=25^\circ,â
\sigma_{\text{adm}}=50\\ \mathrm{MPa},\quad \tau_{\text{adm}}=30\\ \mathrm{MPa}.
Observação geométrica (necessária mais adiante): o ângulo entre a direção da solda (hélice) e o eixo do tubo é
\varphi = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ.

Passo 2

Primeiro vamos achar a área da seção transversal da parede do tubo (área resistente à tração axial). O diâmetro interno é
D_i = D_o - 2t = 300\\ \mathrm{mm} - 2\cdot 6\\ \mathrm{mm} = 288\\ \mathrm{mm}.
A área da seção transversal da parede (em \mathrm{mm}^2) é a área do anel circular:
A = \frac{\pi}{4}\bigl(D_o^2 - D_i^2\bigr).
Usando a identidade diferença de quadrados \,D_o^2-D_i^2=(D_o-D_i)(D_o+D_i)\, temos
D_o^2 - D_i^2 = (300-288)(300+288)=12\cdot 588 = 7056.
Logo
A = \frac{\pi}{4}\cdot 7056 = 1764\pi\\ \mathrm{mm}^2 \approx 5541{,}8\\ \mathrm{mm}^2.
Comentário didático: escolhi \mathrm{mm}^2 porque \mathrm{MPa}= \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2, então manter as \mathrm{mm} facilita os cálculos sem converter unidades.

Passo 3

Relacionamento entre a tensão axial aplicada e as componentes sobre um plano inclinado (a solda). Se a força axial é P, a tensão axial média no material é
\sigma_x=\frac{P}{A}.
Agora, para uma superfície cuja normal faz ângulo \varphi com o eixo x (eixo do tubo), as componentes da tensão (resultado da transformação de tensões para um estado uniaxial) são:
\text{tensão normal na superfície: }\sigma_n=\sigma_x\cos^2\varphi,ãí
\text{tensão de cisalhamento na superfície: }\tau=\sigma_x\sin\varphi\cos\varphi.ãí
Pequena aula sobre por que essas fórmulas valem (intuição): para um estado de tensão uniaxial \sigma_x só existe componente no eixo x. A tríade tensão/tração sobre uma superfície com normal unitário \mathbf{n} tem componente normal t_n=\sigma_x n_x^2=\sigma_x\cos^2\varphi. A componente tangencial (cisalhamento) vem do resto da tração e vale \sigma_x\cos\varphi\sin\varphi. Essas fórmulas são as mesmas que se obtêm pelo tensor de tensões ou pelas fórmulas de transformação de tensões (fácil de memorizar e aplicar na prova).

Passo 4

Agora colocamos \varphi=65^\circ. Vamos calcular \cos\varphi, \sin\varphi e os produtos que aparecem nas fórmulas:
\cos 65^\circ \approx 0{,}422618,\quad \sin 65^\circ \approx 0{,}906308.
Portanto
\cos^2 65^\circ \approx 0{,}178606,\quad \sin 65^\circ\cos 65^\circ \approx 0{,}382683.

Passo 5

Impondo as condições admissíveis:
  • condição pela tensão normal:
\sigma_n=\sigma_x\cos^2\varphi \le \sigma_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad \frac{P}{A}\cos^2\varphi \le 50\\ \mathrm{MPa}.
Isolando P,
P \le 50\\ \mathrm{MPa}\cdot \frac{A}{\cos^2\varphi}.
  • condição pelo cisalhamento:
\tau=\sigma_x\sin\varphi\cos\varphi \le \tau_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad \frac{P}{A}\sin\varphi\cos\varphi \le 30\\ \mathrm{MPa},
ou
P \le 30\\ \mathrm{MPa}\cdot \frac{A}{\sin\varphi\cos\varphi}.
A força máxima admissível é o menor desses dois limites (pois ambas as condições precisam ser satisfeitas).

Passo 6

Calculamos numericamente os dois limites usando A\approx 5541{,}8\\ \mathrm{mm}^2.
Limite imposto pela tensão normal:
P_{\,\sigma} = 50\cdot \frac{5541{,}8}{0{,}178606}\\ \mathrm{N} = \frac{277090}{0{,}178606}\\ \mathrm{N}\approx 1\,551\,948\\ \mathrm{N}\approx 1{,}55\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Limite imposto pelo cisalhamento:
P_{\,\tau} = 30\cdot \frac{5541{,}8}{0{,}382683}\\ \mathrm{N} = \frac{166254}{0{,}382683}\\ \mathrm{N}\approx 434\,808\\ \mathrm{N}\approx 4{,}35\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Comparando, o limite de cisalhamento é o controlador: P_{\,\tau}<P_{\,\sigma}. Portanto a maior força axial admissível é aproximadamente 4{,}35\times10^{5}\\ \mathrm{N}, ou seja cerca de 435\\ \mathrm{kN}.

Resposta

P_{\max}=4,35\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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