8.32 Um tubo de aço com 300 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de uma chapa de aço com espessura de 6 mm soldada ao longo de uma hélice, que forma um ângulo de
um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que as tensões normal e de cisalhamento máximas admissíveis nas direções, respectivamente, normal e tangencial à solda são
50 MPa e
, determine a intensidade
da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo.
Passo 1
O enunciado dá um tubo de aço com diâmetro externo
e espessura da chapa
. A chapa foi soldada ao longo de uma hélice cuja direção forma um ângulo de
com um plano perpendicular ao eixo do tubo. As tensões admissíveis na solda, nas direções normal e tangencial à solda, são
(normal) e
(cisalhamento).
O que a questão pede: determinar a intensidade da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo sem que a tensão normal na solda exceda
nem a tensão de cisalhamento exceda
.
O que a questão pede: determinar a intensidade
Informações relevantes listadas:
Observação geométrica (necessária mais adiante): o ângulo entre a direção da solda (hélice) e o eixo do tubo é
Passo 2
Primeiro vamos achar a área da seção transversal da parede do tubo (área resistente à tração axial). O diâmetro interno é
A área da seção transversal da parede (em
) é a área do anel circular:
Usando a identidade diferença de quadrados
temos
Logo
Comentário didático: escolhi
porque
, então manter as
facilita os cálculos sem converter unidades.
Passo 3
Relacionamento entre a tensão axial aplicada e as componentes sobre um plano inclinado (a solda). Se a força axial é
, a tensão axial média no material é
Agora, para uma superfície cuja normal faz ângulo
com o eixo
(eixo do tubo), as componentes da tensão (resultado da transformação de tensões para um estado uniaxial) são:
Pequena aula sobre por que essas fórmulas valem (intuição): para um estado de tensão uniaxial
só existe componente no eixo
. A tríade tensão/tração sobre uma superfície com normal unitário
tem componente normal
. A componente tangencial (cisalhamento) vem do resto da tração e vale
. Essas fórmulas são as mesmas que se obtêm pelo tensor de tensões ou pelas fórmulas de transformação de tensões (fácil de memorizar e aplicar na prova).
Passo 4
Agora colocamos
. Vamos calcular
,
e os produtos que aparecem nas fórmulas:
Portanto
Passo 5
Impondo as condições admissíveis:
- condição pela tensão normal:
Isolando
,
- condição pelo cisalhamento:
ou
A força máxima admissível é o menor desses dois limites (pois ambas as condições precisam ser satisfeitas).
Passo 6
Calculamos numericamente os dois limites usando
.
Limite imposto pela tensão normal:
Limite imposto pelo cisalhamento:
Comparando, o limite de cisalhamento é o controlador:
. Portanto a maior força axial admissível é aproximadamente
, ou seja cerca de
.