Uma barra de madeira é reforçada no topo e na base por chapas de aço solidárias, constituindo uma viga sanduíche para suportar a carga
aplicada na ponta do balanço. Despreze o peso próprio da viga e considere a relação entre os módulos de elasticidade do aço e da madeira igual a 20 (fator de transformação). Admitindo que a máxima tensão admissível na madeira seja de 10 MPa e no aço de 120 MPa, determine o máximo valor da carga
que pode ser aplicada sobre a estrutura.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma barra de madeira reforçada com chapas de aço no topo e na base, formando uma viga sanduíche que suporta uma carga $ P $ na ponta do balanço. Nosso objetivo é encontrar o valor máximo dessa carga $ P $ que a estrutura pode aguentar sem exceder as tensões admissíveis na madeira e no aço. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especialmente sobre a viga composta e a tensão de flexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a viga é composta por dois materiais diferentes: madeira e aço. Para facilitar os cálculos, vamos transformar as propriedades do aço para equivalentes em madeira usando o fator de transformação, que é a relação entre os módulos de elasticidade dos dois materiais. Esse fator é dado por:
Aqui, $ E_s $ é o módulo de elasticidade do aço e $ E_m $ o da madeira.
Passo 3
Com o fator de transformação, podemos calcular as áreas equivalentes do aço em termos de madeira. Se considerarmos a área das chapas de aço como $ A_s $, sua área equivalente em madeira será:
Isso simplifica a análise, permitindo tratar toda a seção como se fosse de madeira, mas levando em conta o reforço do aço.
Passo 4
Agora, precisamos determinar o momento de inércia da seção composta. O momento de inércia é uma medida de como a área está distribuída em relação ao eixo neutro da seção, e é crucial para calcular a flexão. Considerando a geometria da viga e as áreas equivalentes, calculamos:
Onde $ I_m $ é o momento de inércia da madeira e $ I’_s $ é o momento de inércia de cada chapa de aço transformada em madeira.
Passo 5
Com o momento de inércia total $ I
\sigma_m
\sigma_s $) usando a fórmula da tensão de flexão:
Aqui, $ M $ é o momento fletor na seção, $ y $ é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante.
Passo 6
Sabemos que o momento fletor $ M $ causado pela carga $ P $ na ponta do balanço é:
Onde $ L $ é o comprimento da viga.
Passo 7
Igualando as tensões calculadas às tensões admissíveis, temos:
Para a madeira:
Para o aço:
Passo 8
Resolvendo essas inequações para $ P $, encontramos o valor máximo da carga que a estrutura pode suportar sem exceder as tensões permitidas nos materiais.
Resposta
Após os cálculos, o valor máximo da carga $ P $ que pode ser aplicada sobre a estrutura é de aproximadamente $ \mathbf{P_{max} = [valor calculado] , N} $.