Uma cerâmica avançada possui um módulo de Weibull m=9. Sua resistência à flexão é de 250 MPa , e a probabilidade acumulada de falha F=0,4 para este valor do carregamento. Qual será a resistência à flexão, caso a probabilidade de falha seja de 0,1 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve o módulo de Weibull e a resistência à flexão de uma cerâmica. A matéria aqui é Probabilidade e Distribuições de Probabilidade Aplicadas à Engenharia. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Weibull e como aplicá-la para encontrar a resistência à flexão em diferentes probabilidades de falha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição acumulada de Weibull, que nos dá a probabilidade de falha $ F(\sigma) $ em função da resistência à flexão $ \sigma $:
F(sigma)
Aqui:
  • $ m $ é o módulo de Weibull,
  • $ \sigma_0 $ é o parâmetro de escala,
  • $ \sigma $ é a resistência à flexão.

Passo 3

No enunciado, temos que para $ \sigma = 250 $ MPa, a probabilidade de falha $ F = 0,4 $ e $ m = 9 $. Vamos usar esses valores para encontrar $ \sigma_0 $.
Substituindo na fórmula:
sigma = 250

Passo 4

Vamos resolver para $ e{-\left(\frac{250}{\sigma_0}\right)9} $:
e^-(250sigma0)^9

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar a exponencial:
-(250sigma0)^9 = ln(0,6)
(250sigma0)^9 = -ln(0,6)

Passo 6

Calculamos $ -\ln(0,6) $:
-ln(0,6)
Então,
-ln(0,6) approx 0,51

Passo 7

Para encontrar $ \frac{250}{\sigma_0} $, tiramos a raiz nona de ambos os lados:
250sigma0
Calculando:
250sigma0 = (0,51)^19
Então,
(0,51)^19 approx 0,945

Passo 8

Agora, isolamos $ \sigma_0 $:
sigma0

Passo 9

Agora que temos $ \sigma_0 $, queremos encontrar a resistência à flexão $ \sigma $ para uma probabilidade de falha $ F = 0,1 $.
Usamos novamente a fórmula da distribuição de Weibull:
sigma0

Passo 10

Resolvemos para $ e{-\left(\frac{\sigma}{264,55}\right)9} $:
e^-(sigma264,55)^9

Passo 11

Aplicamos o logaritmo natural:
-(sigma264,55)^9 = ln(0,9)
(sigma264,55)^9 = -ln(0,9)

Passo 12

Calculamos $ -\ln(0,9) $:
-ln(0,9)
Então,
-ln(0,9) approx 0,105

Passo 13

Tiramos a raiz nona de ambos os lados para encontrar $ \frac{\sigma}{264,55} $:
sigma264,55
Calculando:
sigma264,55 = (0,105)^19

Passo 14

Finalmente, isolamos $ \sigma $:
sigma

Resposta

A resistência à flexão para uma probabilidade de falha de 0,1 é aproximadamente 198,4 MPa.

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