Uma cerâmica avançada possui um módulo de Weibull
. Sua resistência à flexão é de 250 MPa , e a probabilidade acumulada de falha
para este valor do carregamento. Qual será a resistência à flexão, caso a probabilidade de falha seja de 0,1 ?
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve o módulo de Weibull e a resistência à flexão de uma cerâmica. A matéria aqui é Probabilidade e Distribuições de Probabilidade Aplicadas à Engenharia. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Weibull e como aplicá-la para encontrar a resistência à flexão em diferentes probabilidades de falha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição acumulada de Weibull, que nos dá a probabilidade de falha $ F(\sigma) $ em função da resistência à flexão $ \sigma $:
Aqui:
- $ m $ é o módulo de Weibull,
- $ \sigma_0 $ é o parâmetro de escala,
- $ \sigma $ é a resistência à flexão.
Passo 3
No enunciado, temos que para $ \sigma = 250 $ MPa, a probabilidade de falha $ F = 0,4 $ e $ m = 9 $. Vamos usar esses valores para encontrar $ \sigma_0 $.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver para $ e{-\left(\frac{250}{\sigma_0}\right)9} $:
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar a exponencial:
Passo 6
Calculamos $ -\ln(0,6) $:
Então,
Passo 7
Para encontrar $ \frac{250}{\sigma_0} $, tiramos a raiz nona de ambos os lados:
Calculando:
Então,
Passo 8
Agora, isolamos $ \sigma_0 $:
Passo 9
Agora que temos $ \sigma_0 $, queremos encontrar a resistência à flexão $ \sigma $ para uma probabilidade de falha $ F = 0,1 $.
Usamos novamente a fórmula da distribuição de Weibull:
Passo 10
Resolvemos para $ e{-\left(\frac{\sigma}{264,55}\right)9} $:
Passo 11
Aplicamos o logaritmo natural:
Passo 12
Calculamos $ -\ln(0,9) $:
Então,
Passo 13
Tiramos a raiz nona de ambos os lados para encontrar $ \frac{\sigma}{264,55} $:
Calculando:
Passo 14
Finalmente, isolamos $ \sigma $:
Resposta
A resistência à flexão para uma probabilidade de falha de 0,1 é aproximadamente 198,4 MPa.