A barra A B é mantida no lugar pela corda A C. Sabendo que a tração na corda é 1.350 N e que c=450 \mathrm{~mm}, determine o momento sobre B da força exercida pela corda no ponto A, decompondo essa força em componentes horizontal e vertical aplicada (a) no ponto A e (b) no ponto C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei as distâncias da imagem fornecida).
  • Força de tração na corda: \;T=1350\\ \mathrm{N}.
  • Distâncias extraídas da imagem:
    • distância horizontal entre A e B: \;570\\ \mathrm{mm}.
    • distância vertical entre B e A (A está abaixo de B): \;300\\ \mathrm{mm}.
    • distância vertical entre C e B: \;c=450\\ \mathrm{mm}.
  • Geometria: a corda liga A a C. Assim, as coordenadas relativas (tomando B como origem) são:
    • posição de A relativa a B: \;r_{BA}=(-570,\;-300)\\ \mathrm{mm}.
    • posição de C relativa a B: \;r_{BC}=(0,\;450)\\ \mathrm{mm}.
  • O que pedir: determinar o momento em B da força exercida pela corda (tração T), decompondo essa força em componentes horizontal e vertical, quando as componentes são aplicadas
    (a) no ponto A; e
    (b) no ponto C.
  • Convenção de sinal: vou usar o momento escalar em 2D \;M_B = x F_y - y F_x (onde posição é (x,y) do ponto de aplicação em relação a B); momento positivo = sentido anti-horário.

Passo 2

Entender como calcular o momento em 2D e como decompôr a força.
  • Definição prática: o momento (torque) em torno de B devido a uma força \mathbf{F}=(F_x,F_y) aplicada em um ponto com posição relativa \mathbf{r}=(x,y) é
M_B = x\,F_y - y\,F_x.
Aqui x e y estão em \mathrm{mm} (ou \mathrm{m}) e F_x,F_y em \mathrm{N}.
  • Decomposição: a tração T atua ao longo da corda A\to C. Se obtermos o versor (vetor unitário) da corda, então
F_x = T\cdot u_x,\qquad F_y = T\cdot u_y,
onde u_x,u_y são as componentes do versor ao longo de x (direita) e y (para cima).

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AC} (usando posições relativas obtidas no Passo 1) e seu comprimento.
  • A partir de B:
    • r_{BA}=(-570,\,-300)\\ \mathrm{mm}.
    • r_{BC}=(0,\;450)\\ \mathrm{mm}.
  • Então a posição de C relativa a A é
\overrightarrow{AC}=r_{BC}-r_{BA}=(0-(-570),\;450-(-300))=(570,\;750)\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento de AC:
|AC|=\sqrt{570^2+750^2}=\sqrt{324900+562500}=\sqrt{887400}\approx 942,054\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Determinar o versor da corda e as componentes da tração.
  • Versor \mathbf{u}=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}, portanto
u_x=\dfrac{570}{942{,}054}\approx 0{,}605,\qquad u_y=\dfrac{750}{942{,}054}\approx 0{,}796.
  • Componentes da força (tração) T=1350\\ \mathrm{N}:
F_x = T\,u_x = 1350\cdot 0{,}605 \approx 817{,}0\\ \mathrm{N},
F_y = T\,u_y = 1350\cdot 0{,}796 \approx 1\,075{,}0\\ \mathrm{N}.
(Agora temos a força da corda em componentes horizontal positiva para a direita e vertical positiva para cima.)

Passo 5

Momento em B devido às componentes aplicadas no ponto A.
  • Posição de A em relação a B: (x_A,y_A)=(-570,\,-300)\\ \mathrm{mm}.
  • Momento total em B devido à força total aplicada em A:
M_B = x_A F_y - y_A F_x = (-570)(1075) - (-300)(817).
  • Calcular cada termo (em \mathrm{N\cdot mm}):
    • x_A F_y = -570\cdot 1075 = -612750\\ \mathrm{N\cdot mm}.
    • -y_A F_x = -(-300)\cdot 817 = +245100\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Soma:
M_B = -612750 + 245100 = -367650\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Converter para \mathrm{N\cdot m} (dividir por 1000):
M_B = -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Interpretação do sinal: M_B<0 significa sentido horário (convenção adotada: positivo = anti-horário), logo o momento é 367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m} no sentido horário.
  • Se quisermos, podemos separar as contribuições das componentes:
    • Momento devido à componente horizontal F_x aplicada em A:
    M_{F_x@A} = -y_A F_x = -(-300)\cdot 817 = +245100\\ \mathrm{N\cdot mm} = +245{,}10\\ \mathrm{N\cdot m}
    (sentido anti-horário).
    • Momento devido à componente vertical F_y aplicada em A:
    M_{F_y@A} = x_A F_y = -570\cdot 1075 = -612750\\ \mathrm{N\cdot mm} = -612{,}75\\ \mathrm{N\cdot m}
    (sentido horário).
    • Soma: +245{,}10 - 612{,}75 = -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Momento em B devido às mesmas componentes aplicadas no ponto C.
  • Posição de C relativa a B: (x_C,y_C)=(0,\;450)\\ \mathrm{mm}.
  • Momento total em B devido à força total aplicada em C:
M_B = x_C F_y - y_C F_x = 0\cdot 1075 - 450\cdot 817.
  • Cálculo:
    • 0\cdot 1075 = 0.
    • -450\cdot 817 = -367650\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Soma:
M_B = -367650\\ \mathrm{N\cdot mm} = -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Contribuições separadas:
    • M_{F_x@C} = -y_C F_x = -450\cdot 817 = -367650\\ \mathrm{N\cdot mm} = -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m}.
    • M_{F_y@C} = x_C F_y = 0.
  • Observação: o momento total é o mesmo que quando a força é aplicada em A (como esperado porque as duas forças têm a mesma linha de ação).

Passo 7

Interpretação final e observações didáticas (resumo curto e incentivo).
  • Conclusão técnica: a resultante momento em B devido à tração T é -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m} (sinal negativo = sentido horário). Ao decompor em componentes horizontais e verticais, as contribuições quando aplicadas em A foram +245{,}10\\ \mathrm{N\cdot m} (de F_x) e -612{,}75\\ \mathrm{N\cdot m} (de F_y), somando -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m}. Quando as mesmas componentes são aplicadas em C obteve-se M_{F_x@C}=-367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m} e M_{F_y@C}=0, total igual.
  • Conceito útil para prova: mover uma força ao longo de sua linha de ação não altera o momento sobre um ponto; por isso o momento total calculado aplicando a força em A ou em C dá o mesmo resultado. Ao decompor em componentes e deslocar cada componente, é preciso atentar para as diferentes posições (o momento de cada componente pode mudar, mas a soma final permanece).
  • Força! Tu já foi longe — repete estes passos com calma e grava o uso da fórmula M=xF_y-yF_x.

Resposta

(a) M_B = -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m} (aplicando as componentes em A); \;M_{F_x@A}=+245{,}10\\ \mathrm{N\cdot m},\;M_{F_y@A}=-612{,}75\\ \mathrm{N\cdot m}.
(b) M_B = -367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m} (aplicando as componentes em C); \;M_{F_x@C}=-367{,}65\\ \mathrm{N\cdot m},\;M_{F_y@C}=0.

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