Sabendo que a tração no cabo A B é 8.100 N , determine o momento da força exercida na placa em A sobre (a) a origem das coordenadas O e (b) o canto D.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular o momento da força (momento de uma tração no cabo AB aplicada na placa em A) em relação a dois pontos:
a origem das coordenadas O;
o canto D.
Informações fornecidas no enunciado/imagem que são relevantes (peguei estes dados da imagem):
A tração no cabo AB tem magnitude 8100\\ \text{N}.
Algumas distâncias indicadas na figura (veja a seção de imagens abaixo):
OC = 2{,}7\\ \text{mm};
uma distância indicada 2{,}1\\ \text{mm} associada à posição de B;
uma pequena distância 0{,}6\\ \text{mm} próxima ao eixo y até B;
uma distância 1{,}2\\ \text{mm} associada ao canto D / deslocamento em z;
marcações de -1{,}2\\ \text{mm} próximas a A.
Observação importante: a figura fornecida está pequena/baixa resolução e algumas marcações e posições de A, B, O e D não estão suficientemente claras para eu identificar de forma inequívoca as coordenadas numéricas de A e B no sistema de referência mostrado. Para calcular numericamente os momentos é obrigatório conhecer as coordenadas cartesianas de A, B e D (ou vetores posição relativos), e essas coordenadas não puderam ser lidas com confiança na imagem.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula” rápida e prática):
O momento (vetor) de uma força \mathbf{F} aplicada em um ponto A em relação a um ponto P é dado por
\mathbf{M}_P = \mathbf{r}_{PA} \times \mathbf{F},
onde \mathbf{r}_{PA} é o vetor que vai de P até o ponto de aplicação A, e o símbolo \times representa o produto vetorial (cross product).
Interpretação:
\mathbf{r}_{PA} tem direção do ponto P para A.
\mathbf{F} é o vetor força aplicado em A (tem direção ao longo do cabo AB apontando de A para B ou de B para A conforme a tração — aqui a tração em AB puxa A na direção de B).
O produto vetorial produz um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r}_{PA} e \mathbf{F}; seu módulo é |\mathbf{M}_P| = |\mathbf{r}_{PA}|\,|\mathbf{F}|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r}_{PA} e \mathbf{F}. O sentido é dado pela regra da mão direita.
Como obter \mathbf{F} em componentes:
Primeiro formam-se as coordenadas de A e B: \mathbf{r}_A=(x_A,y_A,z_A), \mathbf{r}_B=(x_B,y_B,z_B).
O vetor que dá a direção do cabo é \mathbf{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A.
Cálculo do momento em componentes (fórmula operacional): se \mathbf{r}_{PA}=(x,y,z) e \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z), então\mathbf{M}_P=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ x & y & z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} =\big(yF_z-zF_y\big)\,\mathbf{i}-\big(xF_z-zF_x\big)\,\mathbf{j}+\big(xF_y-yF_x\big)\,\mathbf{k}.Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os versores nas direções x,y,z.
Passo 3
Passo a passo prático que você deve executar na prova (sem pular etapas):
Ler e anotar as coordenadas (em mm ou m) dos pontos A, B, O e D no sistema de referência que o enunciado usa. Converta para metros se quiser o resultado em N·m (divida mm por 1000).
Calcule \mathbf{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A.
Calcule o comprimento |\mathbf{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Obtenha o vetor unitário \hat{\mathbf{u}}_{AB}=\mathbf{AB}/|\mathbf{AB}|.
Para o momento sobre O: faça \mathbf{r}_{OA}=\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_O. Se O for a origem, \mathbf{r}_{OA}=\mathbf{r}_A.
Calcule \mathbf{M}_O=\mathbf{r}_{OA}\times\mathbf{F} usando a matriz/determinante acima e obtenha componentes M_{Ox},M_{Oy},M_{Oz}.
Para o momento sobre D: calcule \mathbf{r}_{DA}=\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_D e \mathbf{M}_D=\mathbf{r}_{DA}\times\mathbf{F} da mesma forma.
Verifique unidades (se usou mm, transforme para m antes de multiplicar por N; resultado em N·m). Interprete o sinal/ direções conforme a regra da mão direita (por exemplo, M_z>0 aponta na direção +\mathbf{k}, etc).
Dica de prova: faça tudo em linha, mas escreva cada sub-cálculo (coordenadas de \mathbf{AB}, módulo, componentes de \mathbf{F}, componentes de \mathbf{r}, e por fim o determinante). Isso evita erro.
Passo 4
Exemplo simbólico (mostra exatamente as expressões que você avalia quando tiver os números):
Seja \mathbf{r}_A=(x_A,y_A,z_A), \mathbf{r}_B=(x_B,y_B,z_B), \mathbf{r}_O=(x_O,y_O,z_O), \mathbf{r}_D=(x_D,y_D,z_D).
Quando você souber os x,y,z numéricos, faça as substituições e calcule.
Passo 5
Por que eu não dei os valores numéricos finais aqui:
A imagem fornecida tem marcações que eu consigo ler parcialmente (veja seção de imagens), mas não há informação clara e inequívoca das coordenadas cartesianas completas de A, B, O e D. Sem essas coordenadas não dá para calcular numericamente \mathbf{F} em componentes nem os vetores posição \mathbf{r}_{OA} e \mathbf{r}_{DA}, logo não é possível dar os valores numéricos de \mathbf{M}_O e \mathbf{M}_D.
Posso, se você preferir:
(A) calcular os momentos numéricos imediatamente se você me fornecer as coordenadas \mathbf{r}_A, \mathbf{r}_B e \mathbf{r}_D em mm ou em m; ou
(B) você pode enviar uma versão da figura com resolução maior / anotações mais legíveis para eu extrair as coordenadas diretamente da imagem e concluir os cálculos.
Força motivadora: você já tem todo o procedimento pronto — a parte chata é só substituir números na fórmula do produto vetorial. Se me mandar as coordenadas, eu faço as contas passo a passo e entrego os valores finais em N·m.
Resposta
Não é possível fornecer numericamente \mathbf{M}_O e \mathbf{M}_D porque as coordenadas de A, B, O e D na figura não são legíveis com confiança a partir da imagem fornecida. Peço que envie as coordenadas numéricas ou uma imagem de melhor resolução para eu calcular os valores finais.