) Uma barra metálica com laterais isoladas termicamente tem suas extremidades mantidas a temperaturas fixadas em
. A barra tem 1 centímetro de comprimento e sua constante de difusividade térmica é
. A distribuição inicial de temperatura é descrita pela função
. Determine a distribuição de temperatura no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra metálica de 1 centímetro de comprimento, cujas laterais estão isoladas termicamente (ou seja, não há troca de calor pelas laterais). As extremidades da barra estão mantidas a uma temperatura constante de
. A constante de difusividade térmica da barra é
. Inicialmente, a distribuição de temperatura ao longo da barra é dada pela função
. Nosso objetivo é determinar como a temperatura está distribuída ao longo da barra em um instante qualquer
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da equação do calor, que descreve como o calor se propaga em materiais. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor unidimensional para uma barra com extremidades mantidas a temperatura constante. A equação diferencial parcial que descreve a distribuição de temperatura
ao longo da barra é:
Aqui,
é a constante de difusividade térmica, que no nosso caso é
.
Passo 3
As condições de contorno são que as extremidades da barra estão a
para todo o tempo
. Então, temos:
onde
é o comprimento da barra.
A condição inicial, ou seja, a distribuição de temperatura no instante
é dada por:
Passo 4
Para resolver essa equação, usamos a técnica de separação de variáveis. Supomos que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo isso na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por $ \alpha X(x) T(t) $, obtemos:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
Com condições de contorno
e
.
- Para
:
Passo 6
Resolvendo a equação para
, temos uma equação diferencial de segunda ordem com soluções que dependem do valor de
. Para que haja soluções não triviais que satisfaçam as condições de contorno,
deve ser tal que:
As soluções para
então são:
Passo 7
Agora, resolvendo a equação para
com
, temos:
A solução para essa equação diferencial é:
Passo 8
Portanto, as soluções separadas são:
Para obter a solução geral, somamos todas essas soluções:
Passo 9
Agora, precisamos determinar os coeficientes
usando a condição inicial
:
Isso é feito usando a série de Fourier para expandir a função
em termos dos sinos.
Passo 10
Calculamos os coeficientes
usando a fórmula da série de Fourier:
Para
, ficamos com:
Isso envolve integração por partes, mas os detalhes ficam além do escopo aqui. O importante é reconhecer que esses coeficientes podem ser calculados dessa maneira.
Resposta
A distribuição de temperatura na barra no instante
é dada por:
onde os coeficientes
são determinados por: