Divida 5 x^4+10 x^3-x+6 por x^2+2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer dividir o polinômio 5x^4 + 10x^3 - x + 6 pelo polinômio x^2 + 2x + 1. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente divisão de polinômios. Para resolver isso, vamos usar a técnica da divisão longa de polinômios, que é bem parecida com a divisão que fazemos com números.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios. O dividendo é 5x^4 + 10x^3 - x + 6 e o divisor é x^2 + 2x + 1. Note que o dividendo está faltando alguns termos, então para facilitar, vamos colocar um espaço para x^2 e para a constante:
Dividendo: 5x^4 + 10x^3 + 0x^2 - x + 6
Divisor: x^2 + 2x + 1

Passo 3

Agora, vamos começar a divisão. A ideia é ver quantas vezes o divisor cabe no dividendo, começando pelos termos de maior grau.
Primeiro, dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
5x^4x^2 = 5x^2
Esse 5x^2 é o primeiro termo do nosso resultado (quociente).

Passo 4

Vamos multiplicar o divisor pelo termo que achamos ( 5x^2) e subtrair do dividendo:
5x^2 times (x^2 + 2x + 1) = 5x^4 + 10x^3 + 5x^2
Agora, subtraímos isso do dividendo:
(5x^4 + 10x^3 + 0x^2 - x + 6) - (5x^4 + 10x^3 + 5x^2) = -5x^2 - x + 6

Passo 5

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultante -5x^2 - x + 6.
Dividimos o primeiro termo -5x^2 pelo primeiro termo do divisor x^2:
-5x^2x^2 = -5
Esse -5 é o próximo termo do nosso quociente.

Passo 6

Multiplicamos o divisor pelo termo que achamos ( -5):
-5 times (x^2 + 2x + 1) = -5x^2 -10x -5
Subtraímos isso do polinômio atual:
(-5x^2 - x + 6) - (-5x^2 -10x -5) = 9x + 11

Passo 7

Agora, o grau do restante 9x + 11 é menor que o grau do divisor x^2 + 2x + 1, então não podemos continuar a divisão. Esse resto é o que sobra da divisão.

Resposta

Portanto, ao dividir 5x^4 + 10x^3 - x + 6 por x^2 + 2x + 1, o resultado é:
5x^2 - 5 com resto 9x + 11

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