Uma barra metálica de material desconhecido com 50 cm de comprimento e 1 polegada de diâmetro é colocada em uma máquina de tração. A barra é instrumentada com um extensômetro “isoelastic” posicionado para medir a deformação axial e ligado numa ponte de Wheatestone alimentada por uma fonte de 12 V .
No ensaio é verificado que quando uma força de 10 kN é aplicada, a tensão na saída da ponte é 4,74 \mathrm{mV}.
a) Com base na tabela abaixo qual é a provável liga metálica que compõe a barra? magnésio
Liga Metálica Módulo de Elasticidade Módulo de Cisalhamento Coeficiente de Poisson
Alumínio 69 GPa (10^6 psi) 25 GPa (3,6 10^6 psi) 0,33
Latão 97 GPa (14 10^6 psi) 37 GPa (5,4 10^6 psi) 0,34
Cobre 110 GPa (16 10^6 psi) 46 GPa (6,7 10^6 psi) 0,34
Magnésio 45 GPa (6,5 10^6 psi) 17 GPa (2,5 10^6 psi) 0,29
Níquel 207 GPa (30 10^6 psi) 76 GPa (11,0 10^6 psi) 0,31
Aço 207 GPa (30 10^6 psi) 83 GPa (12,0 10^6 psi) 0,30
Titânio 107 GPa (15,5 10^6 psi) 45 GPa (6,5 10^6 psi) 0,34
Tungstênio 407 GPa (59 10^6 psi) 160 GPa (23,2 10^6 psi) 0,28
b) Qual é a redução no diâmetro da barra durante a aplicação da força?
\Delta d=3,23 \mu \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá uma barra metálica de comprimento 50\\ \mathrm{cm} e diâmetro 1 pol (que equivale a 25,4\\ \mathrm{mm}), submetida a uma força de 10\\ \mathrm{kN}. Um extensômetro “isoelastic” acoplado a uma ponte de Wheatstone alimentada com 12\\ \mathrm{V} fornece uma tensão de saída de 4,74\\ \mathrm{mV}.
Conteúdo necessário:
  1. Relação tensão – deformação axial \sigma = E\,\varepsilon.
  2. Fórmula de ponte de Wheatstone em meia-ponte, com fator de gagueio G=2.
  3. Cálculo de tensão \sigma e deformação \varepsilon, determinação do módulo de elasticidade E.
  4. Comparação com a tabela de ligas.
  5. Cálculo da contração lateral usando o coeficiente de Poisson \nu.

Passo 2

Expressão da saída da meia-ponte com um braço ativo:
V_{\text{out}} = \frac{G\,\varepsilon}{2}\;V_{\text{exc}}
Isolando a deformação axial \varepsilon:
\varepsilon = \frac{2\,V_{\text{out}}}{G\,V_{\text{exc}}} = \frac{2 \times 4,74\times10^{-3}}{2 \times 12} = \frac{9,48\times10^{-3}}{24} = 3,95\times10^{-4}

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal da barra:
d = 1\\ \mathrm{pol} = 25,4\\ \mathrm{mm},\quad r = \frac{d}{2} = 12,7\\ \mathrm{mm}=1,27\times10^{-2}\\ \mathrm{m}
A = \pi\,r^2 = \pi\,(1,27\times10^{-2})^2 = 5,067\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2

Passo 4

Cálculo da tensão axial \sigma:
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{10\,\mathrm{kN}}{5,067\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2} = \frac{10\times10^{3}}{5,067\times10^{-4}} = 19,74\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 19,74\\ \mathrm{MPa}

Passo 5

Determinação do módulo de elasticidade E:
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{19,74\times10^{6}}{3,95\times10^{-4}} = 50,0\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} = 50\\ \mathrm{GPa}

Passo 6

Comparando E\approx50\\ \mathrm{GPa} com a tabela, a liga mais próxima é Magnésio 45\\ \mathrm{GPa}.

Passo 7

Cálculo da redução de diâmetro pela deformação lateral:
A deformação lateral é \varepsilon_{\perp} = -\nu\,\varepsilon. Para magnésio, \nu=0,29, logo
\varepsilon_{\perp} = -0,29 \times 3,95\times10^{-4} = -1,15\times10^{-4}
A variação do diâmetro é
\Delta d = d\,\varepsilon_{\perp} = 25,4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} \times(-1,15\times10^{-4}) = -2,92\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = -2,92\\ \mu\mathrm{m}.
O valor absoluto da redução é 2,92\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

a) A liga provável é Magnésio.
b) A redução no diâmetro é aproximadamente 2,92\\ \mu\mathrm{m}.

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