4^{\circ} ) Determine o módulo do campo elétrico no ponto ( 2 \hat{\boldsymbol{\imath}}-3 \hat{\boldsymbol{\jmath}}+5 \widehat{\boldsymbol{k}} ) se o potencial elétrico é dado por V=2 x y^{3} z^{2}, em que V está em volts e x , y e z estão em metros?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=2\,x\,y^{3}\,z^{2}
e pede o módulo do campo elétrico no ponto (2,-3,5).
O conteúdo principal é que o campo elétrico está relacionado ao potencial por
\mathbf{E}=-\nabla V.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de V.
\frac{\partial V}{\partial x} =2\,y^{3}\,z^{2},\quad \frac{\partial V}{\partial y} =2\,x\,(3\,y^{2})\,z^{2}=6\,x\,y^{2}\,z^{2},\quad \frac{\partial V}{\partial z} =2\,x\,y^{3}\,(2\,z)=4\,x\,y^{3}\,z.

Passo 3

Aplicando \mathbf{E}=-\nabla V, obtemos as componentes
E_{x}=-2\,y^{3}\,z^{2},\quad E_{y}=-6\,x\,y^{2}\,z^{2},\quad E_{z}=-4\,x\,y^{3}\,z.

Passo 4

Agora substituímos x=2, y=-3 e z=5:
E_{x}=-2\cdot(-3)^{3}\cdot5^{2}=1350,\quad E_{y}=-6\cdot2\cdot(-3)^{2}\cdot5^{2}=-2700,\quad E_{z}=-4\cdot2\cdot(-3)^{3}\cdot5=1080.

Passo 5

O módulo do vetor \mathbf{E}=(1350,-2700,1080) é
\bigl\lvert\mathbf{E}\bigr\rvert =\sqrt{1350^{2}+(-2700)^{2}+1080^{2}} \approx3206{,}1\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente
3{,}21\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.

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