3^{\circ} ) Demonstre a fórmula do potencial elétrico gerado por uma linha de carga não condutora de comprimento \mathbf{L} com uma densidade linear de carga uniforme \lambda num ponto P a uma distância d e por um disco carga circular de Raio \mathbf{R} ao longo do eixo que passa pelo centro do disco circular com uma densidade superficial de carga uniforme \boldsymbol{\sigma}.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir pelo princípio de superposição (Lei de Coulomb para potencial) duas fórmulas:
  1. O potencial elétrico V gerado por uma haste não condutora de comprimento L e densidade linear uniforme \lambda, observado num ponto P situado à distância perpendicular d da haste.
  2. O potencial elétrico V ao longo do eixo de um disco de raio R e densidade superficial uniforme \sigma, observado num ponto P a uma distância z do centro do disco.
    Vamos usar sempre
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{dq}{r}
e integrar sobre a distribuição de carga.

Passo 2

Para a haste, colocamos o eixo x de modo que a haste vá de x=-\tfrac{L}{2} a x=+\tfrac{L}{2}, e o ponto P esteja a uma distância d na direção perpendicular (eixo y). Um elemento de carga é
dq = \lambda\,dx
e a distância de dq a P vale
r = \sqrt{x^2 + d^2}\,.
Logo
V = \int dV = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{-L/2}^{+L/2}\frac{dx}{\sqrt{x^2 + d^2}}\,.

Passo 3

Para avaliar
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + d^2}}
usamos o primitivo \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + d^2}\bigr). Portanto
V = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \left[ \ln\!\Bigl(x + \sqrt{x^2 + d^2}\Bigr) \right]_{-L/2}^{+L/2} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \ln\!\Biggl(\frac{\sqrt{d^2 + (L/2)^2} + L/2}{\sqrt{d^2 + (L/2)^2} - L/2}\Biggr).

Passo 4

Para o disco, usamos simetria circular: consideramos um anel de raio r e espessura dr. A carga do anel é
dq = \sigma\,2\pi r\,dr
e a distância do anel ao ponto P no eixo é \sqrt{r^2 + z^2}\,.
Assim
V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int d q \,\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}.

Passo 5

Para
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}
fazemos u = r^2 + z^2, du = 2r\,dr. Obtém-se
V = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \bigl[\sqrt{r^2+z^2}\bigr]_{0}^{R} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \bigl(\sqrt{R^2+z^2} - z\bigr).

Resposta

Potencial da haste de comprimento L a distância d:
V = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \ln\!\Biggl(\frac{\sqrt{d^2 + (L/2)^2} + L/2}{\sqrt{d^2 + (L/2)^2} - L/2}\Biggr).
Potencial do disco de raio R no eixo a distância z:
V(z) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \bigl(\sqrt{R^2+z^2} - z\bigr).

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