Se \mu_{1}=3 \mu_{0} para a região 1(0<\varphi<\pi) e \mu_{2}=9 \mu_{0} para a região (\pi<\varphi<2 \pi) e \overrightarrow{B_{2}}=6 \overrightarrow{a p}+ 10 \overrightarrow{a \varphi}-15 \overrightarrow{a z} m W b / m^{2}. Determine \overrightarrow{B_{1}} e as densidades de energia nos dois meios. ( 2,0 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado divide o espaço em duas regiões cilíndricas em torno do eixo z, separadas pelo plano \varphi=\pi:
– Região 1 0<\varphi<\pi com permeabilidade \mu_{1}=3\,\mu_{0}.
– Região 2 \pi<\varphi<2\pi com permeabilidade \mu_{2}=9\,\mu_{0}.
Foi dado
\overrightarrow{B_{2}} =6\,\overrightarrow{a_{\rho}} +10\,\overrightarrow{a_{\varphi}} -15\,\overrightarrow{a_{z}} \quad\bigl[\mathrm{mWb/m^{2}}\bigr]
e precisamos achar \overrightarrow{B_{1}} e as densidades de energia magnética em cada meio.
Para isso usamos as condições de contorno em magnetostática:
  1. A componente normal de \overrightarrow{B} é contínua no interface.
  2. A componente tangencial de \overrightarrow{H}=\overrightarrow{B}/\mu é contínua no interface.

Passo 2

No plano \varphi=\pi a normal ao interface é \overrightarrow{n}=\overrightarrow{a_{\varphi}}, e as direções tangenciais são \overrightarrow{a_{\rho}} e \overrightarrow{a_{z}}.
As condições de contorno escritas em componentes são:
B_{1\,\varphi}=B_{2\,\varphi}, \quad H_{1\,\rho}=H_{2\,\rho}, \quad H_{1\,z}=H_{2\,z}.

Passo 3

Calculemos primeiro
\overrightarrow{H_{2}} =\frac{\overrightarrow{B_{2}}}{\mu_{2}} =\frac{1}{9\,\mu_{0}} \bigl(6\,\overrightarrow{a_{\rho}} +10\,\overrightarrow{a_{\varphi}} -15\,\overrightarrow{a_{z}}\bigr).
Dessa forma
H_{2\,\rho} =\frac{6}{9\,\mu_{0}} =\frac{2}{3\,\mu_{0}}, \qquad H_{2\,z} =\frac{-15}{9\,\mu_{0}} =-\frac{5}{3\,\mu_{0}}.

Passo 4

Pela continuidade de \overrightarrow{H} tangencial no interface:
H_{1\,\rho}=H_{2\,\rho}=\frac{2}{3\,\mu_{0}}, \qquad H_{1\,z}=H_{2\,z}=-\frac{5}{3\,\mu_{0}}.
Como \mu_{1}=3\,\mu_{0}, obtemos as componentes correspondentes de \overrightarrow{B_{1}}=\mu_{1}\,\overrightarrow{H_{1}}:
B_{1\,\rho} =3\,\mu_{0}\,\frac{2}{3\,\mu_{0}} =2, \qquad B_{1\,z} =3\,\mu_{0}\,\Bigl(-\frac{5}{3\,\mu_{0}}\Bigr) =-5.
E pela continuidade de \overrightarrow{B} normal:
B_{1\,\varphi}=B_{2\,\varphi}=10.
Logo
\overrightarrow{B_{1}} =2\,\overrightarrow{a_{\rho}} +10\,\overrightarrow{a_{\varphi}} -5\,\overrightarrow{a_{z}} \quad\bigl[\mathrm{mWb/m^{2}}\bigr].

Passo 5

A densidade de energia magnética em cada meio é
w=\frac{1}{2}\,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{H}.
Em região 1:
\overrightarrow{H_{1}} =\frac{\overrightarrow{B_{1}}}{\mu_{1}} =\frac{1}{3\,\mu_{0}} \bigl(2\,\overrightarrow{a_{\rho}} +10\,\overrightarrow{a_{\varphi}} -5\,\overrightarrow{a_{z}}\bigr),
\overrightarrow{B_{1}}\!\cdot\overrightarrow{H_{1}} =\frac{2^{2}+10^{2}+(-5)^{2}}{3\,\mu_{0}} =\frac{129}{3\,\mu_{0}} =\frac{43}{\mu_{0}},
w_{1} =\frac{1}{2}\,\frac{43}{\mu_{0}} =\frac{43}{2\,\mu_{0}}.
Em região 2:
\overrightarrow{B_{2}}\!\cdot\overrightarrow{H_{2}} =\frac{6^{2}+10^{2}+(-15)^{2}}{9\,\mu_{0}} =\frac{361}{9\,\mu_{0}},
w_{2} =\frac{1}{2}\,\frac{361}{9\,\mu_{0}} =\frac{361}{18\,\mu_{0}}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{B_{1}} =2\,\overrightarrow{a_{\rho}} +10\,\overrightarrow{a_{\varphi}} -5\,\overrightarrow{a_{z}} \quad[\mathrm{mWb/m^{2}}], \displaystyle w_{1}=\frac{43}{2\,\mu_{0}} \quad[\mathrm{J/m^{3}}], \displaystyle w_{2}=\frac{361}{18\,\mu_{0}} \quad[\mathrm{J/m^{3}}].

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