Determine la capacidad soporte última y admisible bajo una carga completamente vertical y centrada para una zapata de 2.5 \mathrm{~m} \times 2.5 \mathrm{~m} con una profundidad de 1.5 m cimentada sobre un suelo con las siguientes propiedades:
  • \varphi=20^{\circ}, \mathrm{c}=25 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, \gamma=16 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
    *Utilice la ecuación de Meyerhoff con todos los factores de capacidad de carga, profundidad, inclinación v forma.
    Considere que el nivel freático está a 3 m de la superficie. Utilice \gamma_{\text {sat }}= 18.5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

Enunciado y datos importantes (lo que nos dan y lo que piden):
  • Dimensiones de la zapata: 2{,}5\\ \mathrm{m}\times 2{,}5\\ \mathrm{m}. Tomaremos B=2{,}5\\ \mathrm{m} y L=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Profundidad de cimentación (profundidad de base): D_f=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Propiedades del suelo: \varphi=20^\circ, c=25\\ \mathrm{kN/m^2}, \gamma=16\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Nivel freático a 3\\ \mathrm{m} de la superficie (esto implica que la base de la zapata a 1{,}5\\ \mathrm{m} está por encima del nivel freático).
  • Se indica \gamma_{\text{sat}}=18{,}5\\ \mathrm{kN/m^3} (dato suministrado, pero se usará solo si la base quedara sumergida; no es el caso aquí).
  • Se pide: la capacidad portante última (capacidad soporte última) y la admisible (capacidad admisible) bajo carga completamente vertical y centrada.
  • Se debe usar la ecuación de Meyerhof con todos los factores (forma, profundidad, inclinación). La carga es vertical y centrada, por lo tanto los factores de inclinación/ excentricidad serán 1.

Passo 2

Recordemos y escribamos la fórmula de Meyerhof para la capacidad portante última \,q_u\: de una zapata superficial:
q_u = c\,N_c\,s_c\,d_c\,i_c \;+\; q\,N_q\,s_q\,d_q\,i_q \;+\; \tfrac{1}{2}\,\gamma\,B\,N_\gamma\,s_\gamma\,d_\gamma\,i_\gamma
Explicación de cada término (breve y didáctica):
  • c = cohesión del suelo ( \mathrm{kN/m^2}).
  • q = sobrecarga o presión efectiva por el peso del suelo sobre la base = \gamma D_f si el nivel freático está por debajo de la base.
  • \gamma = peso unitario del suelo (a usar según si está seco/sumergido).
  • B = ancho (en la dirección considerada) de la zapata.
  • N_c,N_q,N_\gamma = factores de capacidad portante que dependen sólo de \varphi.
  • s_c,s_q,s_\gamma = factores de forma (dependen de B/L o L/B).
  • d_c,d_q,d_\gamma = factores de profundidad (dependen de D_f/B).
  • i_c,i_q,i_\gamma = factores de inclinación (aquí todos =1 porque la carga es vertical y centrada).
    La estrategia: calcular Ns, luego factores de forma y de profundidad, luego cada término numérico y sumar.

Passo 3

Cálculo de los factores de capacidad portante N_q, N_c, N_\gamma a partir de \varphi=20^\circ.
Fórmulas que usaremos (clásicas, derivadas de la teoría elástica/plástica):
N_q = e^{\pi \tan\varphi}\,\tan^2\!\Big(45^\circ+\tfrac{\varphi}{2}\Big)
N_c = \dfrac{N_q-1}{\tan\varphi}
N_\gamma = 2\,(N_q+1)\,\tan\varphi
Ahora calculamos paso a paso (valores trigonométricos aproximados que voy calculando aquí para que puedas reproducirlos en la prueba):
  • \tan\varphi=\tan 20^\circ \approx 0{,}36397.
  • \pi\tan\varphi \approx 3{,}14159\times0{,}36397 \approx 1{,}143.
  • e^{\pi\tan\varphi}\approx e^{1{,}143}\approx 3{,}136.
  • \tan\big(45^\circ+\tfrac{\varphi}{2}\big)=\tan(45^\circ+10^\circ)=\tan 55^\circ\approx 1{,}4281.
  • \tan^2(55^\circ)\approx 1{,}4281^2 \approx 2{,}039.
Entonces
N_q \approx 3{,}136 \times 2{,}039 \approx 6{,}397.
N_c \approx \dfrac{6{,}397-1}{0{,}36397} \approx \dfrac{5{,}397}{0{,}36397} \approx 14{,}84.
N_\gamma \approx 2\,(6{,}397+1)\,0{,}36397 \approx 2\times7{,}397\times0{,}36397 \approx 5{,}38.
(Guarda estos valores: N_q\approx6{,}397,\; N_c\approx14{,}84,\; N_\gamma\approx5{,}38.)

Passo 4

Determinación de los factores de forma ( s), profundidad ( d) e inclinación ( i), con justificación y valores numéricos.
  • Razón de forma: B/L = 2{,}5/2{,}5 = 1 (zapata cuadrada).
  • Razón de profundidad: D_f/B = 1{,}5/2{,}5 = 0{,}6.
  • Carga vertical y centrada \Rightarrow i_c=i_q=i_\gamma=1.
Para los factores de forma y profundidad uso las expresiones habituales de Meyerhof (formas simples y frecuentes en exámenes):
  • Factores de forma (para zapata cuadrada, B/L=1):
    s_c = 1 + 0{,}2\frac{B}{L},\qquad s_q = 1 + 0{,}1\frac{B}{L},\qquad s_\gamma = 1 - 0{,}4\frac{B}{L}.
    Sustituyendo B/L=1:
    s_c = 1{,}2,\qquad s_q = 1{,}1,\qquad s_\gamma = 0{,}6.
    (Explicación corta: estos factores corrigen la contribución de cada término según la forma; para zapata cuadrada se aumentan ligeramente s_c y s_q y se reduce s_\gamma.)
  • Factores de profundidad (expresiones prácticas usadas en Meyerhof):
    d_c = 1 + 0{,}2\frac{D_f}{B},\qquad d_q = 1 + 0{,}1\frac{D_f}{B},\qquad d_\gamma \approx 1.
    Sustituyendo D_f/B=0{,}6:
    d_c = 1 + 0{,}2\times0{,}6 = 1{,}12,\qquad d_q = 1 + 0{,}1\times0{,}6 = 1{,}06,\qquad d_\gamma = 1{,}00.
    (Explicación: el término de cohesión suele aumentar con la profundidad relativa; el término de peso tiene poca dependencia con profundidad en estas formulaciones, por eso d_\gamma\approx1.)
Resumiendo factores usados:
s_c=1{,}2,\\ s_q=1{,}1,\\ s_\gamma=0{,}6;\qquad d_c=1{,}12,\\ d_q=1{,}06,\\ d_\gamma=1;\qquad i_c=i_q=i_\gamma=1.

Passo 5

Cálculo de la sobrecarga q=\gamma D_f considerando que el nivel freático está a 3\\ \mathrm{m} y la base a 1{,}5\\ \mathrm{m} (por encima del agua), por tanto usamos \gamma=16\\ \mathrm{kN/m^3}:
q = \gamma D_f = 16\\ \mathrm{kN/m^3}\times1{,}5\\ \mathrm{m} = 24\\ \mathrm{kN/m^2}.
Ahora calculamos cada término de la fórmula de Meyerhof numéricamente.
  1. Término de cohesión:
T_c = c\,N_c\,s_c\,d_c\,i_c
Sustituyendo:
T_c = 25 \times 14{,}84 \times 1{,}2 \times 1{,}12 \times 1 \approx 498{,}62\\ \mathrm{kN/m^2}.
(Desglose: 25\times14{,}84=371{,}0; 371{,}0\times1{,}2=445{,}2; 445{,}2\times1{,}12\approx498{,}62.)
  1. Término de sobrecarga:
T_q = q\,N_q\,s_q\,d_q\,i_q
Sustituyendo:
T_q = 24 \times 6{,}397 \times 1{,}1 \times 1{,}06 \times 1 \approx 179{,}11\\ \mathrm{kN/m^2}.
(Desglose: 24\times6{,}397\approx153{,}53; \times1{,}1\approx168{,}88; \times1{,}06\approx179{,}11.)
  1. Término del peso (termino \gamma):
T_\gamma = \tfrac{1}{2}\,\gamma\,B\,N_\gamma\,s_\gamma\,d_\gamma\,i_\gamma
Sustituyendo:
T_\gamma = \tfrac{1}{2}\times16\times2{,}5\times5{,}38\times0{,}6\times1\times1 \approx 64{,}58\\ \mathrm{kN/m^2}.
(Desglose: \tfrac{1}{2}\times16=8; 8\times2{,}5=20; 20\times5{,}38\approx107{,}64; \times0{,}6\approx64{,}58.)
Sumamos los tres términos para obtener la capacidad última:
q_u = T_c + T_q + T_\gamma \approx 498{,}62 + 179{,}11 + 64{,}58 \approx 742{,}31\\ \mathrm{kN/m^2}.
Así obtenemos la capacidad portante última \,q_u\approx742{,}3\\ \mathrm{kN/m^2}.

Passo 6

Cálculo de la capacidad admisible. En geotecnia es habitual usar un factor de seguridad \mathrm{FS} entre 2,5 y 3 para obtener la capacidad admisible \,q_{adm}=q_u/\mathrm{FS}. Si el enunciado no especifica \mathrm{FS}, se usa frecuentemente \mathrm{FS}=3. Voy a usar \mathrm{FS}=3 y explico: esto reduce la capacidad última para asegurar seguridad frente a incertidumbres de parámetros y condiciones reales.
Entonces:
q_{adm} = \dfrac{q_u}{\mathrm{FS}} = \dfrac{742{,}31}{3} \approx 247{,}44\\ \mathrm{kN/m^2}.
Si quisieras otro \mathrm{FS} (por ejemplo 2{,}5), simplemente divide 742{,}31 por ese valor.

Resposta

q_u \approx 742{,}3\\ \mathrm{kN/m^2}
q_{adm} \approx 247{,}4\\ \mathrm{kN/m^2}

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