1 - Uma barra rígida horizontal é suportada por duas molas helicoidais. Quando não há cargas a barra é horizontal, não havendo força ou deformação nas molas. Determine a máxima tensão tangencial em B , quando \mathrm{P}=1.200 \mathrm{lb}.
DADOS:
Mola A-n=8 ; G=5,6 \times 10^{6} \mathrm{psi} ; \mathrm{D}=4 \mathrm{in} ; \mathrm{d}=0,8 in
Mola B-n=15 ; G=6,5 \times 10^{6} \mathrm{psi} ; D=3,6 \mathrm{in} ; \mathrm{d}=0,6 in

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a máxima tensão tangencial (cisalhamento) na mola B quando a carga P=1{.}200\\ \text{lb} é aplicada na extremidade esquerda da barra.
Informações dadas (peguei os comprimentos da figura):
  • Carga: P=1{.}200\\ \text{lb}.
  • Geometria da barra (distâncias medidas a partir da articulação direita):
    • Distância da articulação (ponto D) até A: x_A=2''.
    • Distância de A até B: 4'', logo x_B=x_A+4''=6''.
    • Distância de B até a extremidade esquerda (onde atua P): 4'', logo x_P=10''.
  • Dados da mola A:
    • número de espiras ativas n_A=8,
    • módulo de cisalhamento G_A=5{,}6\times10^{6}\\ \text{psi},
    • diâmetro médio da espira D_A=4'',
    • diâmetro do fio d_A=0{,}8''.
  • Dados da mola B:
    • número de espiras ativas n_B=15,
    • módulo de cisalhamento G_B=6{,}5\times10^{6}\\ \text{psi},
    • diâmetro médio da espira D_B=3{,}6'',
    • diâmetro do fio d_B=0{,}6''.
O que vou encontrar passo a passo:
  • calcular as constantes elásticas (rigidez) k_A e k_B das molas,
  • obter a rotação pequena \theta da barra e, a partir dela, as forças nas molas F_A e F_B,
  • usar a força em B para calcular a tensão máxima tangencial na seção do fio da mola B aplicando a fórmula apropriada com o fator de correção de Wahl.

Passo 2

Rigidez de uma mola helicoidal (princípio e fórmula usada).
  • Para uma mola helicoidal de fio circular, próxima de ser de espiras circulares, a rigidez axial (constante da mola) é dada por
k=\frac{G\,d^{4}}{8\,n\,D^{3}},
onde:
  • k é a rigidez da mola ( \text{lb/in}),
  • G é o módulo de cisalhamento do material ( \text{psi}),
  • d é o diâmetro do fio ( \text{in}),
  • n é o número de espiras ativas (admito que os n dados são espiras ativas),
  • D é o diâmetro médio da espira ( \text{in}).
Cálculo de k_A:
k_A=\frac{G_A d_A^{4}}{8 n_A D_A^{3}} =\frac{(5{,}6\times10^{6})(0{,}8)^{4}}{8\cdot 8 \cdot 4^{3}}.
Calcule passo a passo:
(0{,}8)^{4}=0{,}4096,\qquad 4^{3}=64,\qquad 8\cdot8\cdot64=4096.
k_A=\frac{5{,}6\times10^{6}\cdot0{,}4096}{4096}=5{,}6\times10^{6}\cdot0{,}0001=560\\ \text{lb/in}.
Cálculo de k_B:
k_B=\frac{G_B d_B^{4}}{8 n_B D_B^{3}} =\frac{(6{,}5\times10^{6})(0{,}6)^{4}}{8\cdot15\cdot(3{,}6)^{3}}.
Passos:
(0{,}6)^{4}=0{,}1296,\qquad (3{,}6)^{3}=46{,}656,\qquad 8\cdot15\cdot46{,}656=5{.}598{,}72.
\text{numerador}=6{,}5\times10^{6}\cdot0{,}1296=842{.}400.
k_B=\frac{842{.}400}{5{.}598{,}72}\approx150{,}46\\ \text{lb/in}.
Resumo:
k_A=560\\ \text{lb/in},\qquad k_B\approx150{,}46\\ \text{lb/in}.

Passo 3

Modelo da barra rígida (pequena rotação) e equações de equilíbrio.
  • A barra é rígida e gira em torno da articulação em D. Para pequenas rotações \theta (rad), o deslocamento vertical da barra em um ponto situado a uma distância x da articulação é \delta(x)=\theta\,x (positivo para movimento para cima; o sinal será tratado nas equações de equilíbrio).
  • A força numa mola i vale F_i=k_i\,\delta_i=k_i\,\theta\,x_i.
Equilíbrio vertical:
F_A+F_B=P.
Equilíbrio de momentos em torno da articulação D:
F_A x_A + F_B x_B = P x_P.
Substituindo F_i=k_i \theta x_i na equação de forças:
k_A \theta x_A + k_B \theta x_B = P \quad\Longrightarrow\quad \theta\,(k_A x_A + k_B x_B)=P.
Logo
\theta=\frac{P}{k_A x_A + k_B x_B}.
Agora substituo os números ( x_A=2'',\;x_B=6'',\;P=1{.}200\\ \text{lb}):
k_A x_A =560\cdot2=1{.}120,\qquad k_B x_B=150{,}46\cdot6\approx902{,}76.
k_A x_A + k_B x_B \approx1{.}120+902{,}76=2{.}022{,}76.
\theta=\frac{1{.}200}{2{.}022{,}76}\approx0{,}59345\\ \text{rad}.

Passo 4

Forças nas molas A e B.
  • F_A=k_A x_A \theta =1{.}120\cdot0{,}59345\approx664{,}22\\ \text{lb}.
  • F_B=k_B x_B \theta =902{,}76\cdot0{,}59345\approx535{,}78\\ \text{lb}.
Verificação rápida: F_A+F_B\approx664{,}22+535{,}78=1{.}200\\ \text{lb}=P (equilíbrio vertical satisfeito).

Passo 5

Fórmula da tensão tangencial máxima no fio de uma mola helicoidal e fator de correção de Wahl.
  • Para uma mola helicoidal submetida a uma força axial F, a tensão de cisalhamento máxima no fio (considerando concentração de tensões causada pela curvatura do fio) é dada por
\tau_{\max}=\frac{8F D}{\pi d^{3}}\,K,
onde:
  • F é a força axial na mola ( \text{lb}),
  • D é o diâmetro médio da espira ( \text{in}),
  • d é o diâmetro do fio ( \text{in}),
  • K é o fator de Wahl (fator de concentração), que corrige o estado de tensão devido à curvatura da espira.
  • O fator de Wahl é (fórmula comum):
K=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0{,}615}{C},
onde C é o índice da mola C=\dfrac{D}{d}.
Aplicando para a mola B:
C_B=\frac{D_B}{d_B}=\frac{3{,}6}{0{,}6}=6.
K_B=\frac{4\cdot6-1}{4\cdot6-4}+\frac{0{,}615}{6} =\frac{23}{20}+0{,}1025=1{,}15+0{,}1025=1{,}2525.

Passo 6

Cálculo numérico da tensão máxima em B.
  • Use F_B\approx535{,}78\\ \text{lb}, D_B=3{,}6'', d_B=0{,}6'', K_B=1{,}2525.
d_B^{3}=(0{,}6)^{3}=0{,}216.
\frac{8F_B D_B}{\pi d_B^{3}}=\frac{8\cdot535{,}78\cdot3{,}6}{\pi\cdot0{,}216} =\frac{15429{,}9}{0{,}678584}\approx22{.}745{,}8.
Multiplicando pelo fator de Wahl:
\tau_{\max,B}\approx22{.}745{,}8\cdot1{,}2525\approx28{.}466\\ \text{psi}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
\tau_{\max,B}\approx2,85\times10^{4}\\ \text{psi}\quad\text{(ou }28{.}500\\ \text{psi)}.

Passo 7

Interpretação e observações rápidas (motivação amiga):
  • A tensão calculada é a máxima tensão tangencial no fio da mola B devido à força axial que a mola suporta quando P=1{.}200\\ \text{lb}.
  • Usei a rigidez linear das molas e o equilíbrio de barra rígida (pequena rotação). Se na prova pedirem, explique que o modelo assume pequenas rotações e molas com comportamento linear elástico.

Resposta

\tau_{\max,B}\approx2,85\times10^{4}\\ \text{psi}

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