Uma barra com seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045, cuja tensão de escoamento é 350 MPa . A barra está submetida a um torque de T=300 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} e a um momento fletor de \mathrm{M}=500 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}. Determine o diâmetro necessário da barra, de acordo com:
a Teoria da Máxima Energia de Distorção máxima (critério de von Mises), utilizando um fator de segurança igual a 1,5 com relação ao escoamento.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro necessário de uma barra de seção circular feita de aço carbono SAE 1045, sujeita a um torque T e a um momento fletor M, usando o critério de von Mises (Teoria da Máxima Energia de Distorção) com fator de segurança n=1{,}5 relativo à tensão de escoamento. Dados fornecidos:
\sigma_y = 350\\ \mathrm{MPa},
T = 300\\ \mathrm{N\cdot m},
M = 500\\ \mathrm{N\cdot m},
n = 1{,}5.
A resposta pedida é o diâmetro d da barra (em mm ou m).

Passo 2

Vamos calcular as tensões máximas que aparecem na seção circular devido a flexão e a torção, começando pela tensão normal de flexão. Fórmula geral da tensão de flexão na fibra mais externa:
\sigma = \frac{M\,c}{I},
onde M é o momento fletor na seção, c é a distância do centro à fibra mais externa e I é o segundo momento de área da seção. Para uma seção circular de diâmetro d:
c=\frac{d}{2},
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Substituindo em \sigma=\dfrac{M c}{I} e simplificando:
\sigma_b=\frac{M\,(d/2)}{\pi d^{4}/64}=\frac{32\,M}{\pi d^{3}}.
Explicando: aqui \sigma_b é a tensão normal máxima (em Pa) na fibra externa devido ao momento fletor.

Passo 3

Agora a tensão de cisalhamento máxima devido à torção. Fórmula geral:
\tau = \frac{T\,c}{J},
onde T é o torque e J é o momento polar de inércia. Para seção circular:
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
e c=d/2. Substituindo e simplificando:
\tau_{max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicando: \tau_{max} é o valor máximo da tensão de cisalhamento originada pela torção, ocorrendo na superfície.

Passo 4

Aplico o critério de von Mises para combinar a tensão normal de flexão \sigma_b com a tensão de cisalhamento \tau_{max}. Para o caso com uma tensão normal principal \sigma e uma componente de cisalhamento \tau (estado plano característico aqui), a tensão equivalente de von Mises é:
\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma^{2}+3\,\tau^{2}}.
A condição de segurança com fator n é que \sigma_{eq} não ultrapasse a tensão admissível \sigma_{adm} definida por
\sigma_{adm}=\frac{\sigma_{y}}{n}.
Portanto imponho:
\sqrt{\sigma_b^{2}+3\,\tau_{max}^{2}} \le \sigma_{adm}.

Passo 5

Substituo as expressões de \sigma_b e \tau_{max} em função de d:
\sigma_b=\frac{32M}{\pi d^{3}},\qquad \tau_{max}=\frac{16T}{\pi d^{3}}.
Então:
\sqrt{\left(\frac{32M}{\pi d^{3}}\right)^{2}+3\left(\frac{16T}{\pi d^{3}}\right)^{2}}=\sigma_{adm}.
Elevo ao quadrado e fatoro o denominador comum:
\frac{(32M)^{2}+3(16T)^{2}}{\pi^{2}d^{6}}=\sigma_{adm}^{2}.
Isolando d^{6}:
d^{6}=\frac{(32M)^{2}+3(16T)^{2}}{\pi^{2}\,\sigma_{adm}^{2}}.

Passo 6

Agora calculo numericamente. Primeiro a tensão admissível:
\sigma_{adm}=\frac{\sigma_{y}}{n}=\frac{350\\ \mathrm{MPa}}{1{,}5}=233{,}333\ldots\\ \mathrm{MPa}=233{,}333\ldots\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Substituo M=500\\ \mathrm{N\cdot m} e T=300\\ \mathrm{N\cdot m} (unidades SI consistentes) na expressão de d^{6}:
(32M)^{2}=(32\cdot500)^{2}=16000^{2}=256\,000\,000,
(16T)^{2}=(16\cdot300)^{2}=4800^{2}=23\,040\,000,
(32M)^{2}+3(16T)^{2}=256\,000\,000+3\cdot23\,040\,000=256\,000\,000+69\,120\,000=325\,120\,000.
Logo
d^{6}=\frac{325\,120\,000}{\pi^{2}\,(233{,}333{,}333{,}3)^{2}}.
Calculando numericamente:
d^{6}\approx 6{,}0487\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{6}}.
Tomando a raiz sexta:
d\approx (6{,}0487\times10^{-10})^{1/6}\approx 0{,}02906\\ \mathrm{m}=29{,}06\\ \mathrm{mm}.
Interpretação prática: o diâmetro necessário calculado é aproximadamente 29{,}1\\ \mathrm{mm}; em prática pode-se adotar um valor comercial ligeiramente maior (por ex. 30\\ \mathrm{mm}).

Resposta

d \approx 29{,}06\\ \mathrm{mm}

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