Uma barra com seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045, cuja tensão de escoamento é 350 MPa . A barra está submetida a um torque de
e a um momento fletor de
. Determine o diâmetro necessário da barra, de acordo com:
a Teoria da Máxima Energia de Distorção máxima (critério de von Mises), utilizando um fator de segurança igual a 1,5 com relação ao escoamento.
a Teoria da Máxima Energia de Distorção máxima (critério de von Mises), utilizando um fator de segurança igual a 1,5 com relação ao escoamento.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro necessário de uma barra de seção circular feita de aço carbono SAE 1045, sujeita a um torque
e a um momento fletor
, usando o critério de von Mises (Teoria da Máxima Energia de Distorção) com fator de segurança
relativo à tensão de escoamento. Dados fornecidos:
A resposta pedida é o diâmetro
da barra (em mm ou m).
Passo 2
Vamos calcular as tensões máximas que aparecem na seção circular devido a flexão e a torção, começando pela tensão normal de flexão. Fórmula geral da tensão de flexão na fibra mais externa:
onde
é o momento fletor na seção,
é a distância do centro à fibra mais externa e
é o segundo momento de área da seção. Para uma seção circular de diâmetro
:
Substituindo em
e simplificando:
Explicando: aqui
é a tensão normal máxima (em Pa) na fibra externa devido ao momento fletor.
Passo 3
Agora a tensão de cisalhamento máxima devido à torção. Fórmula geral:
onde
é o torque e
é o momento polar de inércia. Para seção circular:
e
. Substituindo e simplificando:
Explicando:
é o valor máximo da tensão de cisalhamento originada pela torção, ocorrendo na superfície.
Passo 4
Aplico o critério de von Mises para combinar a tensão normal de flexão
com a tensão de cisalhamento
. Para o caso com uma tensão normal principal
e uma componente de cisalhamento
(estado plano característico aqui), a tensão equivalente de von Mises é:
A condição de segurança com fator
é que
não ultrapasse a tensão admissível
definida por
Portanto imponho:
Passo 5
Substituo as expressões de
e
em função de
:
Então:
Elevo ao quadrado e fatoro o denominador comum:
Isolando
:
Passo 6
Agora calculo numericamente. Primeiro a tensão admissível:
Substituo
e
(unidades SI consistentes) na expressão de
:
Logo
Calculando numericamente:
Tomando a raiz sexta:
Interpretação prática: o diâmetro necessário calculado é aproximadamente
; em prática pode-se adotar um valor comercial ligeiramente maior (por ex.
).