Exercício 4: Você vai projetar uma peça de aço para ser utilizada em topografia e adota uma peça com seção retangular de
e
. Alguém levanta a hipótese que uma peça com
e
é mais resistente a flexão. Defina se esta última hipótese é verdadeira ou falsa.
Passo 1
Enunciado e dados: foi escolhida uma peça com seção retangular de
e
. A hipótese levantada é que a peça alternativa com
e
é mais resistente à flexão.
O que se pede: decidir se a hipótese é verdadeira ou falsa.
Dados relevantes listados:
(peça original)
(peça proposta)
O que se pede: decidir se a hipótese é verdadeira ou falsa.
Dados relevantes listados:
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar): resistência à flexão de uma seção depende do módulo resistente à flexão, também chamado de módulo de seção
. Para um momento fletor
aplicado, a tensão máxima na fibra extrema é dada por
Logo, quanto maior
, menor é a tensão para o mesmo momento e mais “resistente” é a seção em termos de flexão. Aqui estamos comparando seções da mesma forma (retângulos) e presumimos mesmo material e mesma direção de flexão (a direção em que
é a dimensão na qual a fibra mais distante está).
Passo 3
Fórmula importante e suas variáveis: para um retângulo de base
e altura
(altura na direção da fibra extrema), o momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal que passa pelo centro é
onde
tem unidades de
. A distância da linha neutra até a fibra mais distante é
. O módulo resistente
é definido por
Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 4
Derivação prática do
para o retângulo (faça isso rápido na prova): substituindo
e
em
temos
Agora simplifico a fração: dividir por
é multiplicar por
, então
Interpretação:
cresce com
e com o quadrado de
. Isso já indica que dar mais altura
é muito mais eficaz para aumentar resistência à flexão do que aumentar
.
Passo 5
Calcule
para a peça original (
). Usando
:
Faço as contas em passos pequenos:
. Então
. Finalmente
Passo 6
Calcule
para a peça proposta (
):
Novamente passo a passo:
. Então
. Finalmente
Passo 7
Comparação e conclusão numérica: compare
com
. A razão é
Portanto
é o dobro de
. Interpretando: para o mesmo momento fletor
, a tensão máxima na peça com
será metade da tensão na peça com
. Assim, a hipótese de que a peça com
maior e
menor é mais resistente à flexão é correta — aumentar a dimensão na direção da altura
aumenta a rigidez e resistência à flexão de forma quadrática.
Passo 8
Observações finais e suposições (importante na prova): essa conclusão assume que
- o material é o mesmo nas duas peças;
- o carregamento gera flexão no mesmo eixo (ou seja, a altura
é a dimensão perpendicular ao eixo neutro, como usei nas fórmulas); - estamos comparando resistência à flexão (não estabilidade por flambagem, nem esforços locais).
Se essas condições forem atendidas, a peça come é, de fato, mais resistente à flexão — exatamente o dobro do módulo resistente.
Resposta
Verdadeira.