Exercício 4: Você vai projetar uma peça de aço para ser utilizada em topografia e adota uma peça com seção retangular de \mathrm{h}=0,20 \mathrm{~m} e \mathrm{b}=0,40 \mathrm{~m}. Alguém levanta a hipótese que uma peça com \mathrm{h}=0,40 \mathrm{~m} e \mathrm{b}=0,20 \mathrm{~m} é mais resistente a flexão. Defina se esta última hipótese é verdadeira ou falsa.

Passo 1

Enunciado e dados: foi escolhida uma peça com seção retangular de h=0,20\\ \mathrm{m} e b=0,40\\ \mathrm{m}. A hipótese levantada é que a peça alternativa com h=0,40\\ \mathrm{m} e b=0,20\\ \mathrm{m} é mais resistente à flexão.
O que se pede: decidir se a hipótese é verdadeira ou falsa.
Dados relevantes listados:
\;h_1=0,20\\ \mathrm{m},\; b_1=0,40\\ \mathrm{m} (peça original)
\;h_2=0,40\\ \mathrm{m},\; b_2=0,20\\ \mathrm{m} (peça proposta)

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): resistência à flexão de uma seção depende do módulo resistente à flexão, também chamado de módulo de seção S. Para um momento fletor M aplicado, a tensão máxima na fibra extrema é dada por
\sigma_{\max}=\frac{M}{S}.
Logo, quanto maior S, menor é a tensão para o mesmo momento e mais “resistente” é a seção em termos de flexão. Aqui estamos comparando seções da mesma forma (retângulos) e presumimos mesmo material e mesma direção de flexão (a direção em que h é a dimensão na qual a fibra mais distante está).

Passo 3

Fórmula importante e suas variáveis: para um retângulo de base b e altura h (altura na direção da fibra extrema), o momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal que passa pelo centro é
I=\frac{b\,h^{3}}{12},
onde I tem unidades de \mathrm{m}^4. A distância da linha neutra até a fibra mais distante é c=\tfrac{h}{2}. O módulo resistente S é definido por
S=\frac{I}{c}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 4

Derivação prática do S para o retângulo (faça isso rápido na prova): substituindo I e c em S temos
S=\frac{I}{c}=\frac{\dfrac{b\,h^{3}}{12}}{\dfrac{h}{2}}.
Agora simplifico a fração: dividir por \dfrac{h}{2} é multiplicar por \dfrac{2}{h}, então
S=\frac{b\,h^{3}}{12}\cdot\frac{2}{h}=\frac{b\,h^{2}}{6}.
Interpretação: S cresce com b e com o quadrado de h. Isso já indica que dar mais altura h é muito mais eficaz para aumentar resistência à flexão do que aumentar b.

Passo 5

Calcule S para a peça original ( h_1=0,20\\ \mathrm{m},\; b_1=0,40\\ \mathrm{m}). Usando \;S=\dfrac{b\,h^{2}}{6}:
S_1=\frac{0,40\cdot(0,20)^{2}}{6}.
Faço as contas em passos pequenos: (0,20)^{2}=0,04. Então 0,40\cdot0,04=0,016. Finalmente
S_1=\frac{0,016}{6}=0,002666\ldots\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Calcule S para a peça proposta ( h_2=0,40\\ \mathrm{m},\; b_2=0,20\\ \mathrm{m}):
S_2=\frac{0,20\cdot(0,40)^{2}}{6}.
Novamente passo a passo: (0,40)^{2}=0,16. Então 0,20\cdot0,16=0,032. Finalmente
S_2=\frac{0,032}{6}=0,005333\ldots\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 7

Comparação e conclusão numérica: compare S_2 com S_1. A razão é
\frac{S_2}{S_1}=\frac{0,005333\ldots}{0,002666\ldots}=2.
Portanto S_2 é o dobro de S_1. Interpretando: para o mesmo momento fletor M, a tensão máxima na peça com h=0,40\\ \mathrm{m},\;b=0,20\\ \mathrm{m} será metade da tensão na peça com h=0,20\\ \mathrm{m},\;b=0,40\\ \mathrm{m}. Assim, a hipótese de que a peça com h maior e b menor é mais resistente à flexão é correta — aumentar a dimensão na direção da altura h aumenta a rigidez e resistência à flexão de forma quadrática.

Passo 8

Observações finais e suposições (importante na prova): essa conclusão assume que
  1. o material é o mesmo nas duas peças;
  2. o carregamento gera flexão no mesmo eixo (ou seja, a altura h é a dimensão perpendicular ao eixo neutro, como usei nas fórmulas);
  3. estamos comparando resistência à flexão (não estabilidade por flambagem, nem esforços locais).
    Se essas condições forem atendidas, a peça com h=0,40\\ \mathrm{m} e b=0,20\\ \mathrm{m} é, de fato, mais resistente à flexão — exatamente o dobro do módulo resistente.

Resposta

Verdadeira.

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