Uma barra com seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045, cuja tensão de escoamento é 350 MPa . A barra está submetida a um torque de T=300 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} e a um momento fletor de \mathrm{M}=500 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}. Determine o diâmetro necessário da barra, de acordo com:
a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (critério de Tresca);

Passo 1

O enunciado dá uma barra de seção circular feita de aço carbono SAE 1045 com tensão de escoamento \sigma_{y}=350\\ \mathrm{MPa}. A barra está sujeita a um torque T=300\\ \mathrm{N\cdot m} e a um momento fletor M=500\\ \mathrm{N\cdot m}. A pergunta é: determinar o diâmetro necessário da barra segundo a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (critério de Tresca).
Informações relevantes fornecidas:
\sigma_{y}=350\\ \mathrm{MPa},\qquad T=300\\ \mathrm{N\cdot m},\qquad M=500\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 2

Explicação da teoria que vamos usar (didática e sem pular etapas): a Teoria de Tresca (máxima tensão cisalhante) diz que o material entra em escoamento quando a maior tensão cisalhante no corpo atinge metade da tensão de escoamento uniaxial. Em termos matemáticos:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
Para um elemento plano com uma tensão normal \sigma (no caso, de flexão) e uma tensão de cisalhamento \tau (no caso, de torção) aplicadas simultaneamente, as tensões principais e a máxima tensão cisalhante podem ser obtidas pelas fórmulas de tensão plana. Sem derivar totalmente, o resultado útil é:
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}},
onde \sigma é a tensão normal no ponto extremo da seção (fibra externa) e \tau é a tensão de cisalhamento máxima devido ao torque. Aqui \sigma aparece porque altera as tensões principais; \tau é o cisalhamento absoluto. Para aplicar Tresca, igualamos essa expressão a \sigma_{y}/2.

Passo 3

Agora precisamos expressar \sigma (tensão de flexão na fibra mais externa) e \tau (tensão de torção máxima na superfície) em função do diâmetro d da barra. Para seção circular maciça:
  • Momento de inércia à flexão:
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
  • Módulo polar de torção (segunda polar de área) J para seção circular maciça:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • A fibra mais externa está a uma distância c=\frac{d}{2} do eixo neutro. A tensão de flexão máxima é dada por:
\sigma=\frac{M\,c}{I}.
Substituindo c e I:
\sigma=\frac{M\cdot\frac{d}{2}}{\frac{\pi d^{4}}{64}}=\frac{32\,M}{\pi d^{3}}.
Explicando: M tem unidade \mathrm{N\cdot m}, d em \mathrm{m}, I em \mathrm{m^{4}}; assim \sigma sai em \mathrm{N/m^{2}}=\mathrm{Pa}.
  • A tensão de cisalhamento máxima por torção é
\tau=\frac{T\,c}{J}.
Substituindo c e J:
\tau=\frac{T\cdot\frac{d}{2}}{\frac{\pi d^{4}}{32}}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da máxima tensão cisalhante para o caso combinado e igualamos ao critério de Tresca:
\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
Substituindo \sigma=\dfrac{32M}{\pi d^{3}} e \tau=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}:
\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{32M}{\pi d^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{16T}{\pi d^{3}}\right)^{2}}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
Simplificando dentro da raiz:
\sqrt{\left(\frac{16M}{\pi d^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{16T}{\pi d^{3}}\right)^{2}}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
Fatorando \dfrac{16}{\pi d^{3}}:
\frac{16}{\pi d^{3}}\sqrt{M^{2}+T^{2}}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
Isolando d^{3}:
d^{3}=\frac{32}{\pi \sigma_{y}}\sqrt{M^{2}+T^{2}}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (atenção às unidades: \sigma_{y} em Pa, M e T em N·m). Primeiro calculamos \sqrt{M^{2}+T^{2}}:
\sqrt{M^{2}+T^{2}}=\sqrt{(500)^{2}+(300)^{2}}=\sqrt{250\,000+90\,000}=\sqrt{340\,000}=583,095\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora
d^{3}=\frac{32}{\pi\,(350\cdot10^{6})}\times 583,095.
Calculemos passo a passo:
\pi\,(350\cdot10^{6})\approx 3{,}14159265\times350\cdot10^{6}=1{,}0995574\times10^{9}.
32\times583{,}095=18\,659{,}04.
Portanto
d^{3}=\frac{18\,659{,}04}{1{,}099\,557\,4\times10^{9}} \approx 1{,}6963\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Tiramos a raiz cúbica para obter d:
d=\sqrt[3]{1{,}6963\times10^{-5}}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}02569\\ \mathrm{m}=25{,}69\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: em projeto costuma-se escolher um diâmetro comercial maior para ter folga de segurança; aqui o diâmetro mínimo calculado pela Teoria de Tresca é aproximadamente 25{,}7\\ \mathrm{mm}, então pode-se adotar, por exemplo, d=26\\ \mathrm{mm} como valor comercial.

Resposta

d \approx 25{,}7\\ \mathrm{mm}

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