Uma barra com seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045, cuja tensão de escoamento é 350 MPa . A barra está submetida a um torque de
e a um momento fletor de
. Determine o diâmetro necessário da barra, de acordo com:
a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (critério de Tresca);
a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (critério de Tresca);
Passo 1
O enunciado dá uma barra de seção circular feita de aço carbono SAE 1045 com tensão de escoamento
. A barra está sujeita a um torque
e a um momento fletor
. A pergunta é: determinar o diâmetro necessário da barra segundo a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (critério de Tresca).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Explicação da teoria que vamos usar (didática e sem pular etapas): a Teoria de Tresca (máxima tensão cisalhante) diz que o material entra em escoamento quando a maior tensão cisalhante no corpo atinge metade da tensão de escoamento uniaxial. Em termos matemáticos:
Para um elemento plano com uma tensão normal
(no caso, de flexão) e uma tensão de cisalhamento
(no caso, de torção) aplicadas simultaneamente, as tensões principais e a máxima tensão cisalhante podem ser obtidas pelas fórmulas de tensão plana. Sem derivar totalmente, o resultado útil é:
onde
é a tensão normal no ponto extremo da seção (fibra externa) e
é a tensão de cisalhamento máxima devido ao torque. Aqui
aparece porque altera as tensões principais;
é o cisalhamento absoluto. Para aplicar Tresca, igualamos essa expressão a
.
Passo 3
Agora precisamos expressar
(tensão de flexão na fibra mais externa) e
(tensão de torção máxima na superfície) em função do diâmetro
da barra. Para seção circular maciça:
- Momento de inércia à flexão:
- Módulo polar de torção (segunda polar de área)
para seção circular maciça:
- A fibra mais externa está a uma distância
do eixo neutro. A tensão de flexão máxima é dada por:
Substituindo
e
:
Explicando:
tem unidade
,
em
,
em
; assim
sai em
.
- A tensão de cisalhamento máxima por torção é
Substituindo
e
:
Passo 4
Aplicamos a fórmula da máxima tensão cisalhante para o caso combinado e igualamos ao critério de Tresca:
Substituindo
e
:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos (atenção às unidades:
em Pa,
e
em N·m). Primeiro calculamos
:
Agora
Calculemos passo a passo:
Portanto
Passo 6
Tiramos a raiz cúbica para obter
:
Comentário prático: em projeto costuma-se escolher um diâmetro comercial maior para ter folga de segurança; aqui o diâmetro mínimo calculado pela Teoria de Tresca é aproximadamente
, então pode-se adotar, por exemplo,
como valor comercial.