Exercício II: Apresente a fórmula da torção e explique sucintamente as variáveis a equação.
Passo 1
O enunciado pede que eu apresente a fórmula da torção e explique, de forma sucinta, o que cada variável/termo nessa equação significa. Não há outros dados numéricos: a tarefa é conceitual e também prática (mostrar a fórmula que se usa numa prova).
Passo 2
Definimos a curva no espaço por um vetor posição parametrizado por t:
\mathbf{r}=\mathbf{r}(t).
As derivadas são \mathbf{r}'(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}, \mathbf{r}''(t)=\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}, \mathbf{r}'''(t)=\dfrac{d^3\mathbf{r}}{dt^3}.
Explico também os operadores que vão aparecer:
\times é o produto vetorial (cross product);
\cdot é o produto escalar (dot product);
\|\cdot\| é a norma do vetor (comprimento);
primas indicam derivadas em relação a t.
Passo 3
Dou a definição geométrica da torção: a torção mede quanto a curva “sai” do plano osculador — ou seja, quanto ela se torce no espaço, afastando-se de ser plana. Em termos do quadro de Frenet, com vetores unitários tangente \mathbf{T}, normal \mathbf{N} e binormal \mathbf{B}, a torção \tau pode ser definida por
\tau = -\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot \mathbf{N},
onde s é o comprimento de arco. Essa forma é conceitual: \tau é (com sinal) a taxa de variação do binormal ao longo da curva, projetada na direção normal.
Passo 4
Na prática (e em provas), usamos uma fórmula conveniente para uma parametrização qualquer t. A fórmula usada é
Agora explico, termo a termo, o que isso significa:
\mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade; \mathbf{r}''(t) é a aceleração; \mathbf{r}'''(t) a derivada terceira.
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é um vetor paralelo ao binormal (ele é zero só quando a curva é colinear em um ponto — atenção à singularidade).
O numerador \big(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big)\cdot\mathbf{r}''' é a componente de \mathbf{r}''' na direção do binormal, multiplicada por um fator que mede “quanto de binormal há”.
O denominador \big\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\|^{2} normaliza a expressão; tem dimensão de comprimento ao quadrado, de modo que \tau tem dimensão de 1/comprimento.
Se a parametrização for por comprimento de arco s (ou seja, t=s e \|\mathbf{r}'(s)\|=1), a fórmula mantém a mesma forma com derivadas em s.
Passo 5
Breve justificativa (esqueleto da derivação) — útil para prova: partimos de \mathbf{B}=\dfrac{\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}. Diferenciando \mathbf{B} em relação a t e usando a regra da cadeia para passar para derivada em s (pois \dfrac{d}{ds}=\dfrac{1}{\|\mathbf{r}'\|}\dfrac{d}{dt}) e projetando em \mathbf{N} obtemos, após simplificações algébricas, a fórmula do passo anterior. Em prova, não precisa decorar a derivação inteira, mas entender que vem de diferenciar o binormal e projetar na normal.
Passo 6
Exemplo prático para “ver a fórmula funcionando”: curva helicoidal
\mathbf{r}(t)=(a\cos t,\; a\sin t,\; b t),
onde a,b são constantes. Calculemos passo a passo:
\mathbf{r}'(t)=(-a\sin t,\; a\cos t,\; b),
\mathbf{r}''(t)=(-a\cos t,\; -a\sin t,\; 0),
\mathbf{r}'''(t)=(a\sin t,\; -a\cos t,\; 0).
O produto vetorial:
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(a b\sin t,\; -a b\cos t,\; a^{2}).
Observações: a torção da hélice é constante e não nula — por isso a hélice é uma curva genuinamente espacial (não está contida num plano).
Passo 7
Dicas rápidas para prova (práticas e amistosas): 1) Decore a fórmula prática \displaystyle \tau=\dfrac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}}; 2) cheque quando \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=0 (pontos singulares, curva localmente retilínea); 3) se der para parametrizar por comprimento de arco, as contas às vezes ficam mais simples; 4) lembre que torsão nula significa curva plana. Vai dar certo — foco em praticar 2–3 exemplos (hélice, círculo, parabola espaço/planar) que aparecem bastante.