• Exercício II: Apresente a fórmula da torção e explique sucintamente as variáveis a equação.

Passo 1

O enunciado pede que eu apresente a fórmula da torção e explique, de forma sucinta, o que cada variável/termo nessa equação significa. Não há outros dados numéricos: a tarefa é conceitual e também prática (mostrar a fórmula que se usa numa prova).

Passo 2

Definimos a curva no espaço por um vetor posição parametrizado por t:
\mathbf{r}=\mathbf{r}(t).
As derivadas são
\mathbf{r}'(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt},
\mathbf{r}''(t)=\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2},
\mathbf{r}'''(t)=\dfrac{d^3\mathbf{r}}{dt^3}.
Explico também os operadores que vão aparecer:
  • \times é o produto vetorial (cross product);
  • \cdot é o produto escalar (dot product);
  • \|\cdot\| é a norma do vetor (comprimento);
  • primas indicam derivadas em relação a t.

Passo 3

Dou a definição geométrica da torção: a torção mede quanto a curva “sai” do plano osculador — ou seja, quanto ela se torce no espaço, afastando-se de ser plana. Em termos do quadro de Frenet, com vetores unitários tangente \mathbf{T}, normal \mathbf{N} e binormal \mathbf{B}, a torção \tau pode ser definida por
\tau = -\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot \mathbf{N},
onde s é o comprimento de arco. Essa forma é conceitual: \tau é (com sinal) a taxa de variação do binormal ao longo da curva, projetada na direção normal.

Passo 4

Na prática (e em provas), usamos uma fórmula conveniente para uma parametrização qualquer t. A fórmula usada é
\tau(t) = \frac{\big(\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big)\cdot\mathbf{r}'''(t)} {\big\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big\|^{2}}.
Agora explico, termo a termo, o que isso significa:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade; \mathbf{r}''(t) é a aceleração; \mathbf{r}'''(t) a derivada terceira.
  • \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é um vetor paralelo ao binormal (ele é zero só quando a curva é colinear em um ponto — atenção à singularidade).
  • O numerador \big(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big)\cdot\mathbf{r}''' é a componente de \mathbf{r}''' na direção do binormal, multiplicada por um fator que mede “quanto de binormal há”.
  • O denominador \big\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\|^{2} normaliza a expressão; tem dimensão de comprimento ao quadrado, de modo que \tau tem dimensão de 1/comprimento.
  • Se a parametrização for por comprimento de arco s (ou seja, t=s e \|\mathbf{r}'(s)\|=1), a fórmula mantém a mesma forma com derivadas em s.

Passo 5

Breve justificativa (esqueleto da derivação) — útil para prova: partimos de \mathbf{B}=\dfrac{\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}. Diferenciando \mathbf{B} em relação a t e usando a regra da cadeia para passar para derivada em s (pois \dfrac{d}{ds}=\dfrac{1}{\|\mathbf{r}'\|}\dfrac{d}{dt}) e projetando em \mathbf{N} obtemos, após simplificações algébricas, a fórmula do passo anterior. Em prova, não precisa decorar a derivação inteira, mas entender que vem de diferenciar o binormal e projetar na normal.

Passo 6

Exemplo prático para “ver a fórmula funcionando”: curva helicoidal
\mathbf{r}(t)=(a\cos t,\; a\sin t,\; b t),
onde a,b são constantes. Calculemos passo a passo:
\mathbf{r}'(t)=(-a\sin t,\; a\cos t,\; b),
\mathbf{r}''(t)=(-a\cos t,\; -a\sin t,\; 0),
\mathbf{r}'''(t)=(a\sin t,\; -a\cos t,\; 0).
O produto vetorial:
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(a b\sin t,\; -a b\cos t,\; a^{2}).
A norma ao quadrado desse vetor é
\big\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\|^{2}=a^{2}b^{2}+a^{4}=a^{2}(a^{2}+b^{2}).
O numerador:
\big(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big)\cdot\mathbf{r}'''=a^{2}b.
Logo a torção é
\tau=\frac{a^{2}b}{a^{2}(a^{2}+b^{2})}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.
Observações: a torção da hélice é constante e não nula — por isso a hélice é uma curva genuinamente espacial (não está contida num plano).

Passo 7

Dicas rápidas para prova (práticas e amistosas): 1) Decore a fórmula prática \displaystyle \tau=\dfrac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}}; 2) cheque quando \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=0 (pontos singulares, curva localmente retilínea); 3) se der para parametrizar por comprimento de arco, as contas às vezes ficam mais simples; 4) lembre que torsão nula significa curva plana. Vai dar certo — foco em praticar 2–3 exemplos (hélice, círculo, parabola espaço/planar) que aparecem bastante.

Resposta

\tau(t)=\frac{\big(\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big)\cdot\mathbf{r}'''(t)}{\big\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big\|^{2}}

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