• Exercício I: Qual o tipo de deformação e de tensão que um material apresenta quando o elemento estrutural/mecânico é submetido a um torque? Represente a distribuição desses parâmetros nas seções transversais circulares, maciça e tubular.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: qual o tipo de deformação e qual o tipo de tensão que um material (um elemento estrutural/canudo/haste) apresenta quando submetido a um torque; e pede que eu represente a distribuição desses parâmetros nas seções transversais circulares maciça e tubular.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): um torque T aplicado ao longo do eixo de um eixo circular; duas geometrias de seção transversal: círculo maciço (raio externo R) e tubo circular (raio externo R_o e raio interno R_i). Não há figura adicional; vou usar essa configuração padrão.

Passo 2

O que fisicamente acontece quando aplicamos um torque?
  • Um torque faz com que cada seção transverse do eixo sofra uma rotação em relação a outra: as seções giram, formando um “ângulo de torção” que varia ao longo do comprimento. Essa deformação é do tipo cisalhamento (shear): as fibras radiais sofrem deslocamentos tangenciais, e linhas originalmente radiais tornam-se hélices.
  • Para seções circulares (maciça ou tubular) em torção pura, as seções planas permanecem planas e não “warpam” (isso é o efeito de Saint‑Venant para seções circulares). Portanto o comportamento é bem descrito por tensões de cisalhamento à medida que nos afastamos do eixo.

Passo 3

Como representar matematicamente a tensão de cisalhamento? (derivação por equilíbrio)
Considere um anel elemental numa seção circular, a uma distância radial r do centro, com espessura radial dr e ângulo d\theta. A contribuição desse anel para o momento fletor de cisalhamento (torque interno) é a tensão de cisalhamento \tau(r) multiplicada pela área do elemento e pelo braço ( r). No equilíbrio do corpo, a soma (integral) dessas contribuições deve ser igual ao torque aplicado T. Isso leva à relação
T=\int_{\text{seção}} \tau(r)\,r\,\mathrm{d}A.çã
Se a seção é circular e o problema é simétrico, a solução mais simples compatível com simetria é assumir que \tau depende apenas de r. Podemos então escrever \tau(r)=C\,r, com C constante a determinar. Substituindo na integral:
T=\int_{\text{seção}} C\,r\cdot r\,\mathrm{d}A = C\int_{\text{seção}} r^{2}\,\mathrm{d}A.çãçã
Define-se o momento polar de inércia (segunda área polar) da seção por
J=\int_{\text{seção}} r^{2}\,\mathrm{d}A.çã
Daí obtemos
C=\frac{T}{J}
e portanto a lei linear para a tensão de cisalhamento:
\tau(r)=\frac{T}{J}\,r.

Passo 4

Cálculo explícito de J para seção circular maciça (uso de coordenadas polares)
Pelo definição
J=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{2}\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r.
Calculando a integral:
2\pi\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r = 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4}=\frac{\pi}{2}R^{4}.
Portanto, para círculo maciço:
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi}{2}R^{4}.ç

Passo 5

Cálculo de J para seção tubular (anel circular)
Fazemos a mesma integral, mas de r=R_i até r=R_o:
J_{\text{tubular}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{R_i}^{R_o} r^{2}\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi\int_{R_i}^{R_o} r^{3}\,\mathrm{d}r.
Calculando:
2\pi\left(\frac{R_o^{4}}{4}-\frac{R_i^{4}}{4}\right)=\frac{\pi}{2}\left(R_o^{4}-R_i^{4}\right).
Portanto:
J_{\text{tubular}}=\frac{\pi}{2}\bigl(R_o^{4}-R_i^{4}\bigr).

Passo 6

Relação entre tensão de cisalhamento e deformação de cisalhamento; ângulo de torção por unidade de comprimento
A lei de Hooke para cisalhamento no regime elástico linear diz que
\tau(r)=G\,\gamma(r),
onde G é o módulo de cisalhamento (módulo de elasticidade em cisalhamento) e \gamma(r) é a deformação de cisalhamento local. Geometricamente, quando cada seção gira com taxa de variação \theta'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} (ângulo de torção por unidade de comprimento), uma fibra radial a distância r do eixo sofre uma deformação de cisalhamento aproximadamente
\gamma(r)=r\,\theta'.
Combinando \tau(r)=G\,\gamma(r) e \tau(r)=\dfrac{T}{J}\,r obtemos
\frac{T}{J}\,r = G\,(r\,\theta')\quad\Rightarrow\quad \theta'=\frac{T}{G\,J}.
Assim o ângulo de torção por unidade de comprimento é
\theta'=\frac{T}{GJ},
e o ângulo de torção ao longo de um comprimento L é
\varphi=\theta'\,L=\frac{T\,L}{GJ}.

Passo 7

Resumo das fórmulas-chave (importantes para prova) e interpretação física
  • Lei da tensão de cisalhamento (distribuição radial):
\tau(r)=\frac{T}{J}\,r.
  • Tensões máximas aparecem na superfície externa ( r=R ou r=R_o):
\tau_{\max}=\frac{T\,R}{J}\quad\text{(maciço)},ç
\tau_{\max}=\frac{T\,R_o}{J}\quad\text{(tubular)}.
  • Lei da deformação de cisalhamento:
\gamma(r)=r\,\theta' = r\,\frac{T}{GJ}.
Interpretação visual (descrição da “representação” pedida):
  • Para seção maciça: tanto \tau(r) quanto \gamma(r) crescem linearmente com r, sendo zero no centro ( r=0) e máximo na superfície externa ( r=R). Visualize uma reta passando pela origem quando plotamos \tau vs r.
  • Para seção tubular: a mesma lei linear vale, mas apenas para R_i\le r\le R_o; na região 0\le r<R_i (o orifício) não existe material, logo não há tensão nem deformação lá. O gráfico de \tau(r) é uma reta começando em \tau(R_i)=\dfrac{T\,R_i}{J} e terminando em \tau(R_o)=\tau_{\max}. Se R_i for pequeno, o comportamento se aproxima do maciço; se R_i é grande, a tensão se concentra mais perto da parede externa.

Passo 8

Direção e natureza das tensões e deformações (prático para prova)
  • Natureza: cisalhamento puro (shear). Não são tensões normais dominantes; a resposta é controlada por \tau.
  • Direção: as tensões de cisalhamento atuam tangencialmente à circunferência (direção \theta em coordenadas cilíndricas). Em cada ponto da seção existem pares de tensões de cisalhamento que tendem a girar as partículas.
  • Consequência prática: para dimensionamento, usa‑se \tau_{\max} comparado com o limite ao cisalhamento do material; para eixos tubulares, remover material do centro diminui peso sem reduzir tanto a rigidez à torção (porque rigidez depende de J, que cresce com R^4).

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (como aplicar estas fórmulas passo a passo)
  1. Identifique R ou R_o,R_i e o torque T.
  2. Calcule J pela fórmula adequada: \dfrac{\pi}{2}R^{4} ou \dfrac{\pi}{2}(R_o^{4}-R_i^{4}).
  3. Use \tau(r)=\dfrac{T}{J}r para obter distribuição e \tau_{\max}=\dfrac{T R}{J} para a superfície.
  4. Se pedirem ângulo de torção, use \varphi=\dfrac{T L}{GJ} (ou \theta'=\dfrac{T}{GJ}).
    Boa notícia: essas são fórmulas diretas; decorando a forma e sabendo integrar r^3 você resolve a maior parte dos exercícios de torção de eixos circulares. Força aí — dá pra fazer na prova!

Resposta

Tipo de deformação: cisalhamento puro (shear), com as seções transversais girando umas em relação às outras (ângulo de torção).
Tipo de tensão: tensão de cisalhamento \tau (tangencial), que varia linearmente com o raio: \tau(r)=\dfrac{T}{J}\,r.
Momento polar de inércia:
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi}{2}R^{4},\qquad J_{\text{tubular}}=\frac{\pi}{2}\bigl(R_o^{4}-R_i^{4}\bigr).ç
Deformação de cisalhamento:
\gamma(r)=r\,\theta' = r\,\frac{T}{GJ}.
Ângulo de torção por comprimento e total:
\theta'=\frac{T}{GJ},\qquad \varphi=\frac{T\,L}{GJ}.
Distribuição nas seções: \tau(0)=0 e \tau cresce linearmente até \tau_{\max}=\dfrac{T\,R}{J} (maciço) ou até \tau(R_o)=\dfrac{T\,R_o}{J} com ausência de material para r<R_i (tubular).

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