- Exercício I: Qual o tipo de deformação e de tensão que um material apresenta quando o elemento estrutural/mecânico é submetido a um torque? Represente a distribuição desses parâmetros nas seções transversais circulares, maciça e tubular.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas: qual o tipo de deformação e qual o tipo de tensão que um material (um elemento estrutural/canudo/haste) apresenta quando submetido a um torque; e pede que eu represente a distribuição desses parâmetros nas seções transversais circulares maciça e tubular.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): um torque aplicado ao longo do eixo de um eixo circular; duas geometrias de seção transversal: círculo maciço (raio externo
) e tubo circular (raio externo
e raio interno
). Não há figura adicional; vou usar essa configuração padrão.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): um torque
Passo 2
O que fisicamente acontece quando aplicamos um torque?
- Um torque faz com que cada seção transverse do eixo sofra uma rotação em relação a outra: as seções giram, formando um “ângulo de torção” que varia ao longo do comprimento. Essa deformação é do tipo cisalhamento (shear): as fibras radiais sofrem deslocamentos tangenciais, e linhas originalmente radiais tornam-se hélices.
- Para seções circulares (maciça ou tubular) em torção pura, as seções planas permanecem planas e não “warpam” (isso é o efeito de Saint‑Venant para seções circulares). Portanto o comportamento é bem descrito por tensões de cisalhamento à medida que nos afastamos do eixo.
Passo 3
Como representar matematicamente a tensão de cisalhamento? (derivação por equilíbrio)
Considere um anel elemental numa seção circular, a uma distância radial do centro, com espessura radial
e ângulo
. A contribuição desse anel para o momento fletor de cisalhamento (torque interno) é a tensão de cisalhamento
multiplicada pela área do elemento e pelo braço (
). No equilíbrio do corpo, a soma (integral) dessas contribuições deve ser igual ao torque aplicado
. Isso leva à relação
Considere um anel elemental numa seção circular, a uma distância radial
Se a seção é circular e o problema é simétrico, a solução mais simples compatível com simetria é assumir que
depende apenas de
. Podemos então escrever
, com
constante a determinar. Substituindo na integral:
Define-se o momento polar de inércia (segunda área polar) da seção por
Daí obtemos
e portanto a lei linear para a tensão de cisalhamento:
Passo 4
Cálculo explícito de
para seção circular maciça (uso de coordenadas polares)
Pelo definição
Pelo definição
Calculando a integral:
Portanto, para círculo maciço:
Passo 5
Cálculo de
para seção tubular (anel circular)
Fazemos a mesma integral, mas de até
:
Fazemos a mesma integral, mas de
Calculando:
Portanto:
Passo 6
Relação entre tensão de cisalhamento e deformação de cisalhamento; ângulo de torção por unidade de comprimento
A lei de Hooke para cisalhamento no regime elástico linear diz que
A lei de Hooke para cisalhamento no regime elástico linear diz que
onde
é o módulo de cisalhamento (módulo de elasticidade em cisalhamento) e
é a deformação de cisalhamento local. Geometricamente, quando cada seção gira com taxa de variação
(ângulo de torção por unidade de comprimento), uma fibra radial a distância
do eixo sofre uma deformação de cisalhamento aproximadamente
Combinando
e
obtemos
Assim o ângulo de torção por unidade de comprimento é
e o ângulo de torção ao longo de um comprimento
é
Passo 7
Resumo das fórmulas-chave (importantes para prova) e interpretação física
- Lei da tensão de cisalhamento (distribuição radial):
- Tensões máximas aparecem na superfície externa (
ou ):
- Lei da deformação de cisalhamento:
Interpretação visual (descrição da “representação” pedida):
- Para seção maciça: tanto
quanto crescem linearmente com , sendo zero no centro ( ) e máximo na superfície externa ( ). Visualize uma reta passando pela origem quando plotamos vs . - Para seção tubular: a mesma lei linear vale, mas apenas para
; na região (o orifício) não existe material, logo não há tensão nem deformação lá. O gráfico de é uma reta começando em e terminando em . Se for pequeno, o comportamento se aproxima do maciço; se é grande, a tensão se concentra mais perto da parede externa.
Passo 8
Direção e natureza das tensões e deformações (prático para prova)
- Natureza: cisalhamento puro (shear). Não são tensões normais dominantes; a resposta é controlada por
. - Direção: as tensões de cisalhamento atuam tangencialmente à circunferência (direção
em coordenadas cilíndricas). Em cada ponto da seção existem pares de tensões de cisalhamento que tendem a girar as partículas. - Consequência prática: para dimensionamento, usa‑se
comparado com o limite ao cisalhamento do material; para eixos tubulares, remover material do centro diminui peso sem reduzir tanto a rigidez à torção (porque rigidez depende de , que cresce com ).
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (como aplicar estas fórmulas passo a passo)
- Identifique
ou e o torque . - Calcule
pela fórmula adequada: ou . - Use
para obter distribuição e para a superfície. - Se pedirem ângulo de torção, use
(ou ).
Boa notícia: essas são fórmulas diretas; decorando a forma e sabendo integrarvocê resolve a maior parte dos exercícios de torção de eixos circulares. Força aí — dá pra fazer na prova!
Resposta
Tipo de deformação: cisalhamento puro (shear), com as seções transversais girando umas em relação às outras (ângulo de torção).
Tipo de tensão: tensão de cisalhamento (tangencial), que varia linearmente com o raio:
.
Momento polar de inércia:
Tipo de tensão: tensão de cisalhamento
Momento polar de inércia:
Deformação de cisalhamento:
Ângulo de torção por comprimento e total:
Distribuição nas seções:
e
cresce linearmente até
(maciço) ou até
com ausência de material para
(tubular).