Uma barra de tamanho L está homogeneamente carregada com uma carga negativa. No mesmo eixo desta barra há uma carga +q. Qual é a força que a barra exerce sobre a carga (Flambda q) e qual a força que a carga exerce sobre a barra (Fq lambda). Faça os cálculos de forma vetorial.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: temos uma barra retilínea de comprimento com carga distribuída de forma uniforme (ou seja, densidade linear de carga , que é negativa) ao longo de todo o seu comprimento. No mesmo eixo dessa barra, a uma certa distância de uma extremidade, está um pontinho com carga . A gente precisa achar, em forma de vetor,
  1. a força que a barra exerce sobre (chamamos ), e
  2. a força que exerce sobre a barra ( ).
Matéria envolvida: Eletricidade (Lei de Coulomb e integração de distribuições contínuas de carga).
O que vamos usar:
  • Definição de densidade linear .
  • Lei de Coulomb para um elemento infinitesimal de carga:
    .
  • Integração ao longo da barra para somar todas as forças dos pedacinhos infinitesimais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas bem prático.
  • Coloque a barra entre dq = lambda,dx, e .
  • A carga fica em , com (ou seja, do lado direito da barra).
A densidade linear é (negativa), então um pedacinho de barra de tamanho tem carga
Um ponto na barra está à distância da carga . Pelo enunciado, a força entre esses dois pedacinhos é sempre ao longo do eixo, puxando (já que e , a interação é atrativa).

Passo 3

Pela Lei de Coulomb, o módulo do diferencial de força que esse pedaço dF = 14pivarepsilon0,|dq|;q(a-x)^2 = 14pivarepsilon0,|lambda|,dx;q(a-x)^2, faz em dvec F = 14pivarepsilon0,lambda,q(a-x)^2,hat x;dx,, é
vec Flambda q = integral0^L dvec F = lambda,q4pivarepsilon0,hat x integral0^L dx(a-x)^2,
Mas, como é negativo e a força é para a esquerda (négativa em ), a forma vetorial é
onde é o versor na direção positiva de . Note que já vai dar sinal “para a esquerda”.
Agora integramos de até :

Passo 4

Calculemos a integral:
integral0^L dx(a-x)^2 = l[,-1a-xr]0^L = -1a-L - l(-1a-0r) = 1a - 1a-L,
Logo,
vec Flambda q = lambda,q4pivarepsilon0 l(1a - 1a-Lr),hat x
Como vec Fqlambda = -,vec Flambda q, , o sinal da expressão garante que aponte para a esquerda (atração).
Pela terceira lei de Newton (ação e reação),

Resposta

boxed vec Flambda q &= lambda,q4pivarepsilon0 l(1a - 1a-Lr),hat x,, vec Fqlambda &= -,vec Flambda q,

Exercícios relacionados