Se r for o vetor que vai desde a origem ao ponto (x, y, z), demonstre as fórmulas nabla cdot r=3 ; nabla times r=0 e(u cdot nabla) r=u

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: o enunciado pede pra mostrar três coisas sobre o campo vetorial
vec r(x,y,z)=x,hatimath + y,hatjmath + z,hat k
  1. o divergente é 3;
  2. o rotacional é zero;
  3. o operador direcional retorna .
Conteúdo usado: definições de divergente, rotacional e derivada direcional em coordenadas cartesianas, mais noções básicas de derivada parcial.

Passo 2

Definindo o operador nabla em coordenadas cartesianas:
nabla = hatimath,partialpartial x ;+;hatjmath,partialpartial y;+;hat k,partialpartial z
E nosso . Vamos aplicar cada definição direitinho.

Passo 3

Calcular o divergente nablacdotvec r = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z) . Por definição:
nablacdotvec r = 1 + 1 + 1 = 3
Cada derivada parcial é 1, porque , etc. Logo

Passo 4

Calcular o rotacional nablatimesvec r = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz x & y & z . A gente usa a regra do determinante:
hatimathl(partialy z - partialz yr) -hatjmathl(partialx z - partialz xr) +hat kl(partialx y - partialy xr)
Isso dá
nablatimesvec r = vec 0
Mas todas essas derivadas mistas são zero (por exemplo , e assim por diante). Então

Passo 5

Calcular (vec ucdotnabla),vec r = uxpartialvec rpartial x + uypartialvec rpartial y + uzpartialvec rpartial z . Primeiro escrevemos (vec ucdotnabla),vec r = ux,hatimath + uy,hatjmath + uz,hat k = vec u . A definição é
Agora, , porque só depende de . Do mesmo modo
e .
Substituindo:

Resposta

nablacdotvec r = 3, nablatimesvec r = vec 0, (vec ucdotnabla),vec r = vec u

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