Se for o vetor que vai desde a origem ao ponto , demonstre as fórmulas
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: o enunciado pede pra mostrar três coisas sobre o campo vetorial
o divergente é 3;
o rotacional é zero;
o operador direcional retorna .
Conteúdo usado: definições de divergente, rotacional e derivada direcional em coordenadas cartesianas, mais noções básicas de derivada parcial.
Passo 2
Definindo o operador nabla em coordenadas cartesianas:
E nosso . Vamos aplicar cada definição direitinho.
Passo 3
Calcular o divergente . Por definição:
Cada derivada parcial é 1, porque , etc. Logo
Passo 4
Calcular o rotacional . A gente usa a regra do determinante:
Isso dá
nablatimesvec r = vec 0
Mas todas essas derivadas mistas são zero (por exemplo , e assim por diante). Então
Passo 5
Calcular (vec ucdotnabla),vec r = uxpartialvec rpartial x + uypartialvec rpartial y + uzpartialvec rpartial z . Primeiro escrevemos (vec ucdotnabla),vec r = ux,hatimath + uy,hatjmath + uz,hat k = vec u . A definição é
Agora, , porque só depende de . Do mesmo modo e .
Substituindo:
Resposta
nablacdotvec r = 3, nablatimesvec r = vec 0, (vec ucdotnabla),vec r = vec u