Seja uma esfera maciça de raio
com uma densidade volumétrica de cargas tal que
envolta por uma casca esférica condutora de raio interno
e raio externo
. Qual é a densidade de carga induzida na superfície interna da casca esférica?
Passo 1
Beleza, aqui o que a questão diz: a gente tem uma esfera maciça de raio
com carga distribuída no volume de acordo com
. Essa esfera fica no interior de uma casca condutora, cujo raio interno é
e externo é
. A pergunta é: qual é a densidade de carga induzida na superfície interna dessa casca?
Conteúdo: eletrostática de condutores (propriedade de que o campo no interior do metal em equilíbrio é zero, e que a carga induzida numa superfície interna cancela o campo gerado pelo que está dentro). Vamos precisar da Lei de Gauss (para achar a carga total da esfera maciça) e da propriedade “campo interno zero” do condutor.
Conteúdo: eletrostática de condutores (propriedade de que o campo no interior do metal em equilíbrio é zero, e que a carga induzida numa superfície interna cancela o campo gerado pelo que está dentro). Vamos precisar da Lei de Gauss (para achar a carga total da esfera maciça) e da propriedade “campo interno zero” do condutor.
Passo 2
Primeiro, lembra da Lei de Gauss: se você escolher uma superfície gaussiana dentro do condutor que envolva só a esfera maciça, o campo elétrico ali dentro tem que ser zero (porque metal em equilíbrio eletrostático não sustenta campo no seu interior). Isso implica que a soma da carga da esfera maciça \emph{mais} a carga induzida na superfície interna da casca é zero. Em símbolos:
ou seja
Passo 3
Agora vamos calcular
. A definição de carga total é
Separamos a integral em duas partes:
Logo
Passo 4
Como a carga induzida vale
, a densidade de carga induzida na superfície interna (que é uma casca esférica de raio
) será uniforme e dada por