Seja uma esfera maciça de raio ra com uma densidade volumétrica de cargas tal que rho=rho0(1+r^2ralpha^2) envolta por uma casca esférica condutora de raio interno rb e raio externo rc. Qual é a densidade de carga induzida na superfície interna da casca esférica?

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão diz: a gente tem uma esfera maciça de raio com carga distribuída no volume de acordo com
. Essa esfera fica no interior de uma casca condutora, cujo raio interno é e externo é . A pergunta é: qual é a densidade de carga induzida na superfície interna dessa casca?
Conteúdo: eletrostática de condutores (propriedade de que o campo no interior do metal em equilíbrio é zero, e que a carga induzida numa superfície interna cancela o campo gerado pelo que está dentro). Vamos precisar da Lei de Gauss (para achar a carga total da esfera maciça) e da propriedade “campo interno zero” do condutor.

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Gauss: se você escolher uma superfície gaussiana dentro do condutor que envolva só a esfera maciça, o campo elétrico ali dentro tem que ser zero (porque metal em equilíbrio eletrostático não sustenta campo no seu interior). Isso implica que a soma da carga da esfera maciça \emph{mais} a carga induzida na superfície interna da casca é zero. Em símbolos:
Qesfera + Qind = 0
ou seja
Qind = -,Qesfera

Passo 3

Agora vamos calcular Qesfera=integralVrho(r),dV =integral0^rarho0l(1+tfracr^2ralpha^2r),4pi r^2,dr . A definição de carga total é
integral0^ra4pirho0,r^2,dr ;+; integral0^ra4pirho0,r^4ralpha^2,dr ;=; 4pirho0l[tfracra^33+tfracra^55,ralpha^2r]
Separamos a integral em duas partes:
Qesfera =4pirho0l(tfracra^33+tfracra^55,ralpha^2r)
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Passo 4

Como a carga induzida vale sigmaind =Qind4pi rb^2 =-4pirho0l(tfracra^33+tfracra^55,ralpha^2r)4pi rb^2 =-rho0, ra^33+ra^55,ralpha^2rb^2 , a densidade de carga induzida na superfície interna (que é uma casca esférica de raio ) será uniforme e dada por

Resposta

boxed sigmaind ;=; -rho0, ra^33 ;+;ra^55,ralpha^2 rb^2

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