Com base no conceito de momento de inércia. Resolva os itens abaixo:
Calcule o momento de inércia de um cilindro anular em torno do eixo central.
Calcule o momento de inércia de um cilindro anular em torno do eixo central.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos (vou listar tudo claramente para você não se perder):
- Pede: calcular o momento de inércia de um cilindro anular (cilindro oco com espessura finita) em torno do eixo central (eixo longitudinal).
- Dados que usamos para descrever o sólido:
-
: raio interno (menor). -
: raio externo (maior). -
: altura do cilindro. -
: massa total do cilindro anular (distribuição de massa uniforme).
-
- O objetivo final: achar
, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao eixo do cilindro.
Passo 2
Conceito básico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas para você entender o porquê):
- Definição integral do momento de inércia: para um corpo distribuído, o momento de inércia relativo a um eixo é
onde
é a distância do elemento de massa
ao eixo de rotação.
- Ideia prática para este corpo: decompor o cilindro anular em “casquinhas” cilíndricas finas (concentradas em raio
e espessura ). Cada casquinha comporta-se como uma massa concentrada à distância do eixo; assim podemos usar para a casquinha e integrar de até .
Passo 3
Expressar a densidade volumétrica e o elemento de massa (passo a passo e bem didático):
- Volume total do cilindro anular:
- Densidade volumétrica (massa por unidade de volume), denotada por
:
Explanação:
tem unidades de massa/volume; multiplicando por um volume infinitesimal obtemos
.
Passo 4
Escolher o elemento de integração e escrever
para a casquinha cilíndrica:
- Considere uma casquinha de raio
(com ), altura e espessura radial . - Área lateral da casquinha:
. - Volume da casquinha:
. - Portanto o elemento de massa é
Passo 5
Escrever
e integrar para obter
(cada passo com explicação):
- Cada casquinha tem momento de inércia em relação ao eixo dado por
- Integrando de
até :
- Efetuando a integral (mostrando a antiderivada):
Passo 6
Substituir
em termos de
e simplificar a expressão algebraicamente (passo a passo):
- Lembrando
. Substituindo em :
- Cancelando
e :
- Usar fatoração da diferença de potências (identidade algébrica):
. Assim:
- Portanto a expressão simplifica para
Passo 7
Interpretação e checagens rápidas (úteis na prova para ver se o resultado faz sentido):
- Caso limite 1: se
(cilindro maciço de raio ), obtemos
que é a fórmula conhecida para um cilindro sólido — ótimo sinal que a fórmula está consistente.
- Caso limite 2: casca fina onde
, então , que coincide com a expectativa de uma lâmina cilíndrica fina (massa concentrada aproximadamente à distância do eixo).
Força aí — você já tem a fórmula e sabe de onde vem!