Com base no conceito de momento de inércia. Resolva os itens abaixo:
Calcule o momento de inércia de um cilindro anular em torno do eixo central.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos (vou listar tudo claramente para você não se perder):
  • Pede: calcular o momento de inércia de um cilindro anular (cilindro oco com espessura finita) em torno do eixo central (eixo longitudinal).
  • Dados que usamos para descrever o sólido:
    • R_1: raio interno (menor).
    • R_2: raio externo (maior).
    • h: altura do cilindro.
    • M: massa total do cilindro anular (distribuição de massa uniforme).
  • O objetivo final: achar I, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao eixo do cilindro.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas para você entender o porquê):
  • Definição integral do momento de inércia: para um corpo distribuído, o momento de inércia relativo a um eixo é
I=\int r^2\,dm,
onde r é a distância do elemento de massa dm ao eixo de rotação.
  • Ideia prática para este corpo: decompor o cilindro anular em “casquinhas” cilíndricas finas (concentradas em raio r e espessura dr). Cada casquinha comporta-se como uma massa concentrada à distância r do eixo; assim podemos usar dI=r^2\,dm para a casquinha e integrar r de R_1 até R_2.

Passo 3

Expressar a densidade volumétrica e o elemento de massa (passo a passo e bem didático):
  • Volume total do cilindro anular:
V=\pi\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr)h.
  • Densidade volumétrica (massa por unidade de volume), denotada por \rho:
\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\pi\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr)h}.
Explanação: \rho tem unidades de massa/volume; multiplicando por um volume infinitesimal obtemos dm.

Passo 4

Escolher o elemento de integração e escrever dm para a casquinha cilíndrica:
  • Considere uma casquinha de raio r (com R_1\le r\le R_2), altura h e espessura radial dr.
  • Área lateral da casquinha: 2\pi r\cdot h.
  • Volume da casquinha: \text{(área lateral)}\times dr = 2\pi r h\,drá.
  • Portanto o elemento de massa é
dm=\rho\cdot 2\pi r h\,dr.

Passo 5

Escrever dI e integrar para obter I (cada passo com explicação):
  • Cada casquinha tem momento de inércia em relação ao eixo dado por
dI=r^2\,dm = r^2\bigl(\rho\cdot 2\pi r h\,dr\bigr)=2\pi\rho h\,r^3\,dr.
  • Integrando de r=R_1 até r=R_2:
I=\int_{R_1}^{R_2} 2\pi\rho h\,r^3\,dr.
  • Efetuando a integral (mostrando a antiderivada):
I=2\pi\rho h\left[\frac{r^4}{4}\right]_{R_1}^{R_2}=2\pi\rho h\cdot\frac{1}{4}\bigl(R_2^4-R_1^4\bigr)=\frac{\pi\rho h}{2}\bigl(R_2^4-R_1^4\bigr).

Passo 6

Substituir \rho em termos de M e simplificar a expressão algebraicamente (passo a passo):
  • Lembrando \rho=\dfrac{M}{\pi\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr)h}. Substituindo em I:
I=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{M}{\pi\bigl(R_2^2-R_1^2\bigr)h}\cdot h\bigl(R_2^4-R_1^4\bigr).
  • Cancelando \pi e h:
I=\frac{1}{2}M\cdot\frac{R_2^4-R_1^4}{R_2^2-R_1^2}.
  • Usar fatoração da diferença de potências (identidade algébrica): R_2^4-R_1^4=(R_2^2-R_1^2)(R_2^2+R_1^2). Assim:
\frac{R_2^4-R_1^4}{R_2^2-R_1^2}=R_2^2+R_1^2.
  • Portanto a expressão simplifica para
I=\frac{1}{2}M\bigl(R_2^2+R_1^2\bigr).

Passo 7

Interpretação e checagens rápidas (úteis na prova para ver se o resultado faz sentido):
  • Caso limite 1: se R_1=0 (cilindro maciço de raio R_2), obtemos
I=\frac{1}{2}M R_2^2,
que é a fórmula conhecida para um cilindro sólido — ótimo sinal que a fórmula está consistente.
  • Caso limite 2: casca fina onde R_2\approx R_1\approx R, então I\approx \tfrac{1}{2}M( R^2+R^2)=M R^2, que coincide com a expectativa de uma lâmina cilíndrica fina (massa concentrada aproximadamente à distância R do eixo).
Força aí — você já tem a fórmula e sabe de onde vem!

Resposta

I=\frac{1}{2}\,M\bigl(R_1^2+R_2^2\bigr)

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