Com base no conceito de momento de inércia. Resolva os itens abaixo:
Calcule o momento de inércia de um anel de raio
e massa
, em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer.
Calcule o momento de inércia de um anel de raio
Passo 1
O enunciado pede: calcular o momento de inércia de um anel (um aro fino) de raio
e massa
em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer do anel (ou seja, um eixo que atravessa o centro do anel e fica no plano do anel).
Informações dadas:
- O corpo é um anel fino (espessura negligenciável), raio
. - A massa total do anel é
. - O eixo pedido passa por um diâmetro do anel (está contido no plano do anel e passa pelo centro).
O que precisamos obter: o valor numérico (em termos de
e
) do momento de inércia relativo a esse eixo diametral.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo).
- O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é, por definição,
onde
é a distância perpendicular do elemento de massa
ao eixo de rotação. Em palavras: cada pedacinho de massa contribui com
vezes o quadrado da sua distância ao eixo; o momento é a soma (integral) dessas contribuições.
- Para um anel fino todos os elementos de massa estão a uma distância fixa
do centro. Dependendo do eixo, a distância perpendicular de cada elemento ao eixo do problema muda, por isso precisamos escrever corretamente para o eixo diametral.
Passo 3
Escolha de coordenadas e parametrização do anel.
- Coloco o centro do anel na origem e o anel no plano
. - Parametro um ponto genérico do anel por um ângulo
: as coordenadas cartesianas de um ponto do anel são
com
.
- Como o anel é fino e de massa total
, a densidade linear (massa por comprimento) é
- Um elemento de arco de comprimento é
, logo a massa desse elemento é
(Observação: é comum notar que ao parametrizar por
o fator
do comprimento cancela com o
em
, dando
.)
Passo 4
Determinar qual é a distância perpendicular
de um elemento ao eixo diametral.
- Sem perda de generalidade, considere o eixo diametral coincidente com o eixo
(um diâmetro qualquer é equivalente por simetria). Então o eixo está no plano do anel passando pelo centro, ao longo de . - A distância perpendicular de um ponto
ao eixo é . No quadrado isso vira . - Para o ponto parametrizado,
. Portanto, para o eixo ,
Passo 5
Agora montamos a integral do momento de inércia em relação ao eixo
.
Usando a definição,
Usando a definição,
Substituindo
, obtemos uma integral em
:
Colocando constantes fora da integral:
Passo 6
Calcular a integral
.
- Uma identidade trigonométrica útil é
- Substituindo na integral:
- A primeira integral vale
. A segunda integral é zero porque tem período e soma nula sobre um múltiplo inteiro de períodos:
- Logo
Passo 7
Voltar para
e computar o valor final.
Substituindo o resultado da integral em :
Substituindo o resultado da integral em
Portanto o momento de inércia do anel em relação a um eixo que passa por um diâmetro (eixo no plano do anel que atravessa o centro) é
.
Passo 8
Comentário intuitivo e verificação alternativa rápida (sem integrar).
- Intuitivamente: o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano do anel que passa pelo centro (eixo
) é conhecido como
pois todos os elementos estão à distância
do eixo
. Para um corpo plano (lâmina) no plano
vale o teorema dos eixos perpendiculares (perpendicular axis theorem):
Pelo anel ser simétrico em
e
tem-se
. Então
, de onde
. Isso coincide com o resultado da integração — bom sinal.