Com base no conceito de momento de inércia. Resolva os itens abaixo:
Calcule o momento de inércia de um anel de raio R e massa M, em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o momento de inércia de um anel (um aro fino) de raio R e massa M em relação a um eixo que passa por um diâmetro qualquer do anel (ou seja, um eixo que atravessa o centro do anel e fica no plano do anel).
Informações dadas:
  • O corpo é um anel fino (espessura negligenciável), raio R.
  • A massa total do anel é M.
  • O eixo pedido passa por um diâmetro do anel (está contido no plano do anel e passa pelo centro).
O que precisamos obter: o valor numérico (em termos de M e R) do momento de inércia relativo a esse eixo diametral.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo).
  • O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é, por definição,
I=\int r_{\perp}^{2}\,dm,
onde r_{\perp} é a distância perpendicular do elemento de massa dm ao eixo de rotação. Em palavras: cada pedacinho de massa contribui com dm vezes o quadrado da sua distância ao eixo; o momento é a soma (integral) dessas contribuições.
  • Para um anel fino todos os elementos de massa estão a uma distância fixa R do centro. Dependendo do eixo, a distância perpendicular de cada elemento ao eixo do problema muda, por isso precisamos escrever corretamente r_{\perp} para o eixo diametral.

Passo 3

Escolha de coordenadas e parametrização do anel.
  • Coloco o centro do anel na origem e o anel no plano xy.
  • Parametro um ponto genérico do anel por um ângulo \theta: as coordenadas cartesianas de um ponto do anel são
x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta,
com \theta\in[0,2\pi).
  • Como o anel é fino e de massa total M, a densidade linear (massa por comprimento) é
\lambda=\frac{M}{2\pi R}.
  • Um elemento de arco de comprimento é ds=R\,d\theta, logo a massa desse elemento é
dm=\lambda\,ds=\frac{M}{2\pi}\,d\theta.
(Observação: é comum notar que ao parametrizar por \theta o fator R do comprimento cancela com o 1/R em \lambda, dando dm=\dfrac{M}{2\pi}\,d\theta.)

Passo 4

Determinar qual é a distância perpendicular r_{\perp} de um elemento ao eixo diametral.
  • Sem perda de generalidade, considere o eixo diametral coincidente com o eixo x (um diâmetro qualquer é equivalente por simetria). Então o eixo está no plano do anel passando pelo centro, ao longo de x.
  • A distância perpendicular de um ponto (x,y) ao eixo x é |y|. No quadrado isso vira y^{2}.
  • Para o ponto parametrizado, y=R\sin\theta. Portanto, para o eixo x,
r_{\perp}^{2}=y^{2}=R^{2}\sin^{2}\theta.

Passo 5

Agora montamos a integral do momento de inércia em relação ao eixo x.
Usando a definição,
I_{x}=\int r_{\perp}^{2}\,dm=\int R^{2}\sin^{2}\theta\;dm.
Substituindo dm=\dfrac{M}{2\pi}\,d\theta, obtemos uma integral em \theta:
I_{x}=\int_{0}^{2\pi} R^{2}\sin^{2}\theta\cdot\frac{M}{2\pi}\,d\theta.
Colocando constantes fora da integral:
I_{x}=\frac{M R^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
  • Uma identidade trigonométrica útil é
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
  • Substituindo na integral:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
  • A primeira integral vale \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem período \pi e soma nula sobre um múltiplo inteiro de períodos:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta=0.
  • Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi.

Passo 7

Voltar para I_{x} e computar o valor final.
Substituindo o resultado da integral em I_{x}:
I_{x}=\frac{M R^{2}}{2\pi}\cdot \pi=\frac{1}{2}M R^{2}.
Portanto o momento de inércia do anel em relação a um eixo que passa por um diâmetro (eixo no plano do anel que atravessa o centro) é \dfrac{1}{2}M R^{2}.

Passo 8

Comentário intuitivo e verificação alternativa rápida (sem integrar).
  • Intuitivamente: o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano do anel que passa pelo centro (eixo z) é conhecido como
I_{z}=M R^{2},
pois todos os elementos estão à distância R do eixo z. Para um corpo plano (lâmina) no plano xy vale o teorema dos eixos perpendiculares (perpendicular axis theorem):
I_{x}+I_{y}=I_{z}.
Pelo anel ser simétrico em x e y tem-se I_{x}=I_{y}. Então 2I_{x}=I_{z}=M R^{2}, de onde I_{x}=\dfrac{1}{2}M R^{2}. Isso coincide com o resultado da integração — bom sinal.

Resposta

\dfrac{1}{2}M R^{2}

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