(2,0 pontos) Considere uma partícula de massa m e carga q incidindo com velocidade \vec{v} ortogonalmente a uma região com campo magnético constante \vec{B}. Mostre que a partícula passa a descrever um movimento circular uniforme (MCU). Calcule a frequência angular \omega, o período T e o raio R do MCU.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
  • Dados do problema:
    • Partícula com massa m e carga q.
    • Velocidade inicial \vec{v} incidindo ortogonalmente a uma região onde há campo magnético constante \vec{B}. Ou seja, o ângulo entre \vec{v} e \vec{B} é 90^\circ.
    • Denotar v=|\vec{v}| o módulo da velocidade.
  • O que o problema pede:
    1. Mostrar que a partícula passa a descrever um movimento circular uniforme (MCU).
    2. Calcular a frequência angular \omega do MCU.
    3. Calcular o período T do MCU.
    4. Calcular o raio R do MCU.

Passo 2

Força magnética (lei básica) e como calcular sua intensidade.
  • A força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela força de Lorentz (somente a parte magnética relevante aqui):
\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}.
  • O módulo dessa força é
|\vec{F}| = |q|\,|\vec{v}\times\vec{B}| = |q|\,vB\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. No enunciado \theta=90^\circ, logo \sin\theta=1 e
|\vec{F}| = |q|\,vB.
  • Direção da força: \vec{F} é perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B} (regra da mão direita). Portanto a força é sempre perpendicular à velocidade da partícula.

Passo 3

Por que essa força gera MCU (velocidade constante e curvatura circular).
  • Se a força é sempre perpendicular à velocidade, então o trabalho instantâneo realizado pela força é nulo e o módulo da velocidade v permanece constante. Explicando: potência P=\vec{F}\cdot\vec{v}=0 porque \vec{F}\perp\vec{v}.
  • Uma força de módulo constante e sempre perpendicular à velocidade é exatamente a condição para que a partícula faça um movimento circular uniforme: a força atua como força centrípeta, desviando a direção da velocidade mantendo seu módulo. Conclusão: a partícula descreve um MCU (trajetória circular com velocidade escalar constante).

Passo 4

Expressar a condição de equilíbrio entre força magnética e força centrípeta e resolver para R.
  • Para MCU de raio R e velocidade escalar v, a aceleração centrípeta tem módulo
a_\text{c}=\frac{v^{2}}{R}.
  • A força centrípeta exigida é F_\text{c}=m a_\text{c} = m\frac{v^{2}}{R}.
  • A força magnética fornece exatamente essa força centrípeta em módulo, então igualamos:
m\frac{v^{2}}{R} = |q|\,vB.
  • Simplificando (dividindo por v, que é não nulo),
m\frac{v}{R} = |q|B.
  • Isolando R,
R = \frac{m v}{|q| B}.
Observação física: o sinal de q (positivo ou negativo) determina o sentido da rotação (sentido horário ou anti-horário), mas o raio depende de |q|, ou seja, do valor absoluto da carga.

Passo 5

Calcular a frequência angular \omega e o período T.
  • A definição de frequência angular para um MCU é
\omega = \frac{v}{R}.
  • Substituindo o R obtido em cima,
\omega = \frac{v}{\dfrac{m v}{|q|B}} = \frac{|q|B}{m}.
  • Novamente, pode-se incluir o sinal de q para obter a orientação vetorial da velocidade angular: a componente vetorial de \vec{\omega} é \vec{\omega} = \dfrac{q}{m}\,\vec{B}. Mas o módulo é
|\omega|=\frac{|q|B}{m}.
  • O período T é o tempo para uma volta completa:
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{|q| B}.

Passo 6

Resumo físico e comentários finais (como lembrar na prova).
  • Resultado físico rápido para decorar: carga em campo magnético perpendicular gira em círculo de raio proporcional à massa e velocidade e inversamente proporcional à carga e ao campo: R=\dfrac{m v}{|q|B}.
  • Frequência angular (frequência ciclotrônica) depende apenas de q, B e m: \omega=\dfrac{|q|B}{m}. Período T=\dfrac{2\pi m}{|q|B}.
  • Dica prática na prova: escreva primeiro a força magnética \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}, conclua que ela é perpendicular a \vec{v} (velocidade constante), e iguale seu módulo à força centrípeta m v^{2}/R. A partir daí isola R, depois \omega e T.

Resposta

A partícula descreve MCU.
\omega = \dfrac{|q|B}{m}
T = \dfrac{2\pi m}{|q|B}
R = \dfrac{m v}{|q|B}

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