(2,0 pontos) Considere uma partícula de massa
e carga
incidindo com velocidade
ortogonalmente a uma região com campo magnético constante
. Mostre que a partícula passa a descrever um movimento circular uniforme (MCU). Calcule a frequência angular
, o período
e o raio
do MCU.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
-
Dados do problema:
- Partícula com massa
e carga . - Velocidade inicial
incidindo ortogonalmente a uma região onde há campo magnético constante . Ou seja, o ângulo entre e é . - Denotar
o módulo da velocidade.
- Partícula com massa
-
O que o problema pede:
- Mostrar que a partícula passa a descrever um movimento circular uniforme (MCU).
- Calcular a frequência angular
do MCU. - Calcular o período
do MCU. - Calcular o raio
do MCU.
Passo 2
Força magnética (lei básica) e como calcular sua intensidade.
- A força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela força de Lorentz (somente a parte magnética relevante aqui):
- O módulo dessa força é
onde
é o ângulo entre
e
. No enunciado
, logo
e
- Direção da força:
é perpendicular tanto a quanto a (regra da mão direita). Portanto a força é sempre perpendicular à velocidade da partícula.
Passo 3
Por que essa força gera MCU (velocidade constante e curvatura circular).
- Se a força é sempre perpendicular à velocidade, então o trabalho instantâneo realizado pela força é nulo e o módulo da velocidade
permanece constante. Explicando: potência porque . - Uma força de módulo constante e sempre perpendicular à velocidade é exatamente a condição para que a partícula faça um movimento circular uniforme: a força atua como força centrípeta, desviando a direção da velocidade mantendo seu módulo. Conclusão: a partícula descreve um MCU (trajetória circular com velocidade escalar constante).
Passo 4
Expressar a condição de equilíbrio entre força magnética e força centrípeta e resolver para
.
- Para MCU de raio
e velocidade escalar , a aceleração centrípeta tem módulo
- A força centrípeta exigida é
. - A força magnética fornece exatamente essa força centrípeta em módulo, então igualamos:
- Simplificando (dividindo por
, que é não nulo),
- Isolando
,
Observação física: o sinal de
(positivo ou negativo) determina o sentido da rotação (sentido horário ou anti-horário), mas o raio depende de
, ou seja, do valor absoluto da carga.
Passo 5
Calcular a frequência angular
e o período
.
- A definição de frequência angular para um MCU é
- Substituindo o
obtido em cima,
- Novamente, pode-se incluir o sinal de
para obter a orientação vetorial da velocidade angular: a componente vetorial de é . Mas o módulo é
- O período
é o tempo para uma volta completa:
Passo 6
Resumo físico e comentários finais (como lembrar na prova).
- Resultado físico rápido para decorar: carga em campo magnético perpendicular gira em círculo de raio proporcional à massa e velocidade e inversamente proporcional à carga e ao campo:
. - Frequência angular (frequência ciclotrônica) depende apenas de
, e : . Período . - Dica prática na prova: escreva primeiro a força magnética
, conclua que ela é perpendicular a (velocidade constante), e iguale seu módulo à força centrípeta . A partir daí isola , depois e .
Resposta
A partícula descreve MCU.