Com base nos seus conhecimentos acerca da Primeira Lei de Kepler, assinale a alternativa correta.
a) A velocidade de translação de um planeta que orbita o Sol é sempre constante ao longo da órbita.
b) A razão entre o quadrado do período orbital dos planetas que orbitam a mesma estrela e o cubo do raio médio de suas órbitas é constante.
c) A órbita dos planetas em torno do Sol é elíptica e tem o Sol em um de seus focos.
d) A linha imaginária que liga a Terra até o Sol varre áreas iguais em períodos iguais.
e) A velocidade de translação dos planetas depende da distância em que o planeta se encontra do Sol.

Passo 1

O enunciado pede para, usando o conhecimento sobre a Primeira Lei de Kepler, assinalar a alternativa correta entre as opções a), b), c), d) e e). As alternativas são:
a) A velocidade de translação de um planeta que orbita o Sol é sempre constante ao longo da órbita.
b) A razão entre o quadrado do período orbital dos planetas que orbitam a mesma estrela e o cubo do raio médio de suas órbitas é constante.
c) A órbita dos planetas em torno do Sol é elíptica e tem o Sol em um de seus focos.
d) A linha imaginária que liga a Terra até o Sol varre áreas iguais em períodos iguais.
e) A velocidade de translação dos planetas depende da distância em que o planeta se encontra do Sol.
O que é pedido: escolher qual dessas afirmações corresponde ao conteúdo da Primeira Lei de Kepler.

Passo 2

Enunciado da Primeira Lei de Kepler (forma simples e direta): a Primeira Lei afirma que “as órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses, com o Sol localizado em um dos focos da elipse.” Essa é a declaração textual; agora vamos entender o que significa geometricamente e matematicamente.
O que é uma elipse (explicação didática):
  • Uma elipse é uma curva fechada definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante.
  • Em coordenadas cartesianas, uma elipse com centro na origem e eixos alinhados tem equação
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
onde \,a é o semi-eixo maior e \,b é o semi-eixo menor.
  • Os focos ficam em (\pm c,0), com c relacionado a a e b por
c^2=a^2-b^2.
  • A excentricidade é \,e=\dfrac{c}{a}, com 0\le e<1 para elipses. No caso especial e=0 a elipse vira um círculo (focos coincidem no centro).
Aplicando isso à Primeira Lei: dizer que a órbita é elíptica e que o Sol está em um dos focos significa exatamente que, no sistema de coordenadas da órbita, um dos pontos (\pm c,0) é ocupado pelo Sol. Essa é a declaração da alternativa c).

Passo 3

Verificação das demais alternativas (para deixar claro por que são incorretas em relação à Primeira Lei):
  • a) “A velocidade é sempre constante ao longo da órbita.”
    Isso é falso em geral. Em uma órbita elíptica a velocidade varia: o planeta move-se mais rápido quando está mais próximo do Sol (periélio) e mais devagar quando está mais longe (afelio). Só no caso especial de órbita circular (uma elipse com e=0) a velocidade tangencial é constante. Logo, essa afirmação não representa a Primeira Lei e ainda é geralmente falsa.
  • b) “ A razão T^2/a^3 é constante ” (escrito aqui em palavras).
    Essa é a Terceira Lei de Kepler: para planetas que orbitam a mesma estrela vale
    \frac{T^2}{a^3}=\text{constante},
    onde T é o período orbital e a o semi-eixo maior. Portanto b) não é a Primeira Lei, é a Terceira Lei.
  • d) “A linha imaginária que liga a Terra até o Sol varre áreas iguais em períodos iguais.”
    Essa é a Segunda Lei de Kepler (lei das áreas). Novamente, não é a Primeira Lei.
  • e) “A velocidade de translação depende da distância ao Sol.”
    Essa afirmação é verdadeira (velocidade varia com a distância), mas é consequência da Segunda Lei (ou, visto de outra forma, da conservação do momento angular/energia no movimento kepleriano). Ainda assim, não é a Primeira Lei, que fala apenas sobre a forma da órbita (elipse com o Sol em um foco). Como a pergunta pede algo sobre a Primeira Lei, a alternativa e) não responde ao que a Primeira Lei afirma.

Passo 4

Resumo pedagógico e dica de prova: quando a questão pede algo “acerca da Primeira Lei de Kepler”, o que se deve reconhecer imediatamente é: forma da órbita = elipse; posição do Sol = um dos focos. Outras propriedades como variação de velocidade (segunda lei) e relação T^2\propto a^3 (terceira lei) são leis diferentes. Na prova, memorize as três leis com uma frase curta cada: 1) elipse, Sol em um foco; 2) áreas iguais em tempos iguais; 3) T^2\propto a^3.

Resposta

c)

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