Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
O que é analogia dos fenômenos de transportes?

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
e pergunta: “O que é analogia dos fenômenos de transportes?”
Informações explícitas dadas pelo enunciado:
  • A incógnita escalar é \psi.
  • Aparecem termos de derivada temporal \frac{\partial \psi}{\partial t} e de convecção (v\cdot\nabla)\psi.
  • Há um termo fonte/geração \dot{\psi}_{G}.
  • Há um termo de difusão \delta(\nabla\cdot\nabla\psi) (ou seja, \delta\nabla^{2}\psi).
  • Há um termo -\psi(\nabla\cdot v) que depende da divergência do campo de velocidade v.
  • A pergunta pede uma explicação conceitual: o que se entende por “analogia” entre fenômenos de transporte com base nessa equação.

Passo 2

Entendendo cada termo da equação (sem pular etapas):
  • \frac{\partial \psi}{\partial t}: variação local de \psi no tempo num ponto fixo no espaço. Unidade: depende de \psi (por exemplo, K/s para temperatura).
  • (v\cdot\nabla)\psi: termo convectivo. Significa que a variação de \psi também ocorre porque o fluido com velocidade v transporta (conveciona) a propriedade \psi de um lugar para outro. Matematicamente, (v\cdot\nabla)\psi = v_x\frac{\partial\psi}{\partial x}+v_y\frac{\partial\psi}{\partial y}+v_z\frac{\partial\psi}{\partial z}.
  • \dot{\psi}_{G}: termo de geração/produção de \psi por fontes internas (por exemplo, aquecimento interno, reação química que produz massa, forças volumétricas que geram momento).
  • \delta(\nabla\cdot\nabla\psi)=\delta\nabla^{2}\psi: termo de difusão (Laplaciano). Aqui \delta é um coeficiente de difusão (ou difusividade) cuja unidade é [unidade de \psi]·[comprimento]^{-2}·[tempo]. Fisicamente representa a tendência de \psi se equilibrar por processos moleculares/viscosos.
  • -\psi(\nabla\cdot v): termo que aparece quando o fluxo é compressível; se \nabla\cdot v\neq0, há variação de \psi devido à dilatação ou compressão do volume fluido.
Também é útil apresentar o operador derivada material:
\frac{D\psi}{Dt} \equiv \frac{\partial \psi}{\partial t} + (v\cdot\nabla)\psi,
que representa a taxa de variação de \psi seguindo uma partícula do fluido. Assim a equação pode ser escrita como
\frac{D\psi}{Dt}=\dot{\psi}_{G}+\delta\nabla^{2}\psi-\psi(\nabla\cdot v).

Passo 3

Interpretando a equação como um tipo geral de equação de transporte:
  • A forma \frac{D\psi}{Dt}=\text{fonte}+\text{difusão}+\text{termos de compressão}ãã é a estrutura básica que aparece em muitos problemas: transporte de calor, transporte de massa (espécies químicas), e transporte de quantidade de movimento (componentes da velocidade), com diferenças nos coeficientes e em termos extras (como pressão).
  • Em escoamento incompressível ( \nabla\cdot v=0) a equação simplifica para
\frac{D\psi}{Dt}=\dot{\psi}_{G}+\delta\nabla^{2}\psi,
que é a equação de advecção‑difusão com fonte — uma forma clássica que aparece em vários contextos físicos.

Passo 4

Mostrando correspondências concretas (a “analogia” prática — passo a passo de como mapear):
  • Para condução de calor (temperatura): a equação de energia (na forma apropriada) pode ser arranjada como
\frac{D T}{Dt} = \frac{k}{\rho c_p}\nabla^{2}T + \frac{Q}{\rho c_p},
onde T\) é temperatura, \(k\) condutividade térmica, \(\rho\) densidade, \(c_p\) calor específico e \(Q\) geração de calor por volume. Comparando com a equação geral, identificamos \(\psi\leftrightarrow T\), \(\delta\leftrightarrow \alpha\) com \(\alpha=\dfrac{k}{\rho c_p}\) (difusividade térmica) e \(\dot{\psi}_{G}\leftrightarrow Q/(\rho c_p)\). - Para difusão de massa (concentração): a equação de conservação para uma espécie costuma ser \[\frac{D c}{Dt} = D_m \nabla^{2}c + \dot{c}_G,
onde c é concentração e D_m difusividade molecular. Aqui \psi\leftrightarrow c e \delta\leftrightarrow D_m.
  • Para quantidade de movimento (um componente da velocidade u), a parte difusiva (viscosa) do termo de Navier–Stokes tem forma \nu\nabla^{2}u com \nu=\mu/\rho (viscosidade cinemática). Assim a difusão de momento é análoga à difusão de calor/massa, embora as equações de momento tenham também o gradiente de pressão e acoplamento entre componentes.
Esses exemplos mostram a correspondência:
\psi \longleftrightarrow \begin{cases} T &\text{(temperatura)}\\\ c &\text{(concentração)}\\\ u &\text{(componente de velocidade, em parte)}\end{cases} \qquad \delta \longleftrightarrow \begin{cases} \alpha = \dfrac{k}{\rho c_p} \\\ D_m \\\ \nu=\dfrac{\mu}{\rho} \end{cases}çã
e (\dot{\psi}_G] corresponde às fontes apropriadas (calor volumétrico, reação química, forças volumétricas).

Passo 5

Por que essa correspondência é útil? Intuição matemática e prática (didática e exemplos simples):
  • Se duas equações têm a mesma forma matemática (advecção + difusão + fonte), técnicas analíticas e numéricas e soluções conhecidas para uma podem ser reaplicadas à outra mudando apenas os símbolos e coeficientes. Por exemplo, um método numérico estável para resolver advecção‑difusão de temperatura pode ser usado para concentração trocando \alpha por D_m.
  • Dimensionalmente, as velocidades relativas de transporte por convecção e por difusão são medidas por números adimensionais:
    • Número de Reynolds: \displaystyle Re=\frac{U L}{\nu} (relação inércia/viscosidade).
    • Número de Prandtl: \displaystyle Pr=\frac{\nu}{\alpha} (relação momento/energia térmica).
    • Número de Schmidt: \displaystyle Sc=\frac{\nu}{D_m} (relação momento/massa).
    • Número de Lewis: \displaystyle Le=\frac{\alpha}{D_m} (relação térmico/massa).
      Esses números permitem comparar qualitativamente se o transporte em dois fenômenos será parecido. Por exemplo, se Pr\approx Sc e os mesmos Re valem, perfis de velocidade, temperatura e concentração terão espessuras de camada limite semelhantes.
  • Exemplo simples: em escoamento incompressível e em regime onde a pressão não interfere nos perfis escalares, se \alpha e D_m forem parecidos, a distribuição de T e c ao longo de uma placa plana será parecida — então medições térmicas podem estimar difusão de massa (isso é a essência das analogias).

Passo 6

Limitações e precauções (é importante saber onde a analogia falha):
  • Equações de momentum são vetoriais e têm o termo de pressão, que não tem análogo direto em escalares; isso impõe limites à analogia completa.
  • Em escoamentos compressíveis ( \nabla\cdot v\neq0) aparece o termo -\psi(\nabla\cdot v), que muda a forma da equação e rompe, em parte, a correspondência simples.
  • Propriedades dependentes da temperatura/concentração (viscosidade, densidade, difusividades variáveis) quebram a equivalência direta.
  • Reações químicas, fontes dependentes não linearmente e fenômenos turbulentos exigem correções e modelos adicionais (por exemplo, modelos turbulentos que introduzem difusividades turbulentas diferentes para momento, calor e massa).

Passo 7

Resumo didático e a definição direta (para decorar e usar na prova):
  • A “analogia dos fenômenos de transportes” é a identificação de que transporte de grandezas distintas (temperatura, concentração, quantidade de movimento) é governado por equações de conservação com a mesma estrutura matemática (advecção + difusão + fonte). Por causa dessa igualdade de forma, existe uma correspondência entre variáveis e coeficientes (por exemplo, temperatura \leftrightarrow concentração \leftrightarrow componente de velocidade; \alpha\leftrightarrow D_m\leftrightarrow\nu), o que permite usar as mesmas técnicas e, em muitas circunstâncias, inferir soluções ou leis empíricas de um fenômeno para outro. Sempre citar as limitações (vetor vs escalar, pressão, compressibilidade, propriedades variáveis).

Resposta

A analogia dos fenômenos de transportes é a observação de que transporte de diferentes quantidades (por exemplo, temperatura, concentração e momento) obedece a equações de conservação da mesma forma matemática (advecção + difusão + fontes), de modo que se estabelece um mapeamento entre as variáveis e coeficientes ( \psi\leftrightarrow T,c,u, \delta\leftrightarrow\alpha,D_m,\nu, \dot{\psi}_G\leftrightarrow fontes), permitindo transferir métodos, soluções e previsões entre calor, massa e momento, desde que se respeitem as limitações (termos de pressão, natureza vetorial do momento, compressibilidade e propriedades variáveis).

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