Determine o ângulo de projeto \theta\left(0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}\right) da escora A B, de modo que a força horizontal de 400 lb tenha um componente de 500 lb orientado de A para C. Qual é o valor do componente da força que atua ao longo do elemento A B ? Considere que \varphi=40^{\circ}.

Passo 1

O enunciado (usando a figura fornecida) diz o seguinte: há uma força horizontal de 400\\ \text{lb} aplicada em A com direção para a esquerda. Quer‑se determinar o ângulo de projeto \theta (com 0^{\circ}\le \theta\le 90^{\circ}) da escora AB tal que essa força horizontal tenha um componente de 500\\ \text{lb} orientado de A para C. Foi dado que \varphi=40^{\circ}. Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura:
  • Força aplicada em A: módulo \;400\\ \text{lb}\; e direção horizontal (para a esquerda).
  • Deseja‑se que a componente dessa força, projetada na direção de A para C, tenha módulo \;500\\ \text{lb}\; e sentido de A para C.
  • Valor dado: \varphi=40^{\circ} (presente na figura).
  • Intervalo permitido para \theta: 0^{\circ}\le \theta\le 90^{\circ}.

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática e passo a passo): como se calcula a componente de uma força numa direção qualquer?
  • Se temos um vetor força \mathbf{F} de módulo |\mathbf{F}| e queremos sua componente ao longo de uma direção unitária \hat{\mathbf{u}}, essa componente (com sinal) é dada pelo produto escalar
\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{u}}=|\mathbf{F}|\cos\alpha,
onde \alpha é o ângulo entre a direção da força e a direção \hat{\mathbf{u}}.
  • Em termos de módulo: o maior valor possível do módulo da componente ao longo de qualquer direção é |\mathbf{F}| (ocorre quando a direção coincide com a força); portanto sempre vale
\bigl|\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{u}}\bigr|\le |\mathbf{F}|.
Isto é uma consequência imediata da definição do cosseno: |\cos\alpha|\le 1.

Passo 3

Aplicando o conceito ao caso concreto: aqui |\mathbf{F}|=400\\ \text{lb}. Se tentamos obter, projetando essa força numa direção qualquer (por exemplo, a direção de A para C), uma componente de módulo 500\\ \text{lb}, teríamos que ter
\bigl|\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{u}}_{AC}\bigr| = 500\\ \text{lb}.
Mas pelo resultado do passo anterior isso exigiria
500 \le |\mathbf{F}| = 400,
ou seja 500 \le 400, o que é falso. Em termos do cosseno seria necessário |\cos\alpha| = 500/400 = 1{,}25, o que é impossível porque |\cos\alpha|\le 1.

Passo 4

Conclusão lógica: não existe nenhum ângulo \theta no intervalo [0^{\circ},90^{\circ}] (nem em nenhum outro intervalo) tal que a projeção da força horizontal de 400\\ \text{lb} numa direção qualquer tenha módulo 500\\ \text{lb}. Portanto o requisito do enunciado é impossível de satisfazer com a força dada.

Passo 5

Comentário prático e fórmula útil (para provar que não há solução e para usar se o enunciado tivesse valores compatíveis): supondo que a direção de AB fizesse um ângulo \theta com a horizontal (como na figura), a componente da força horizontal de 400\\ \text{lb} ao longo de AB seria, em módulo,
\text{Componente ao longo de }AB = 400\cos\theta.
Como verificação, esse valor nunca excede 400\\ \text{lb} para qualquer \theta. Logo, se o enunciado exigisse um componente ao longo de AB maior que 400\\ \text{lb}, também seria impossível.

Resposta

Não existe \theta\in[0^{\circ},90^{\circ}] que satisfaça a condição pedida (a projeção de 400\\ \text{lb} não pode ser 500\\ \text{lb}, pois 500>400).
Componente da força ao longo de AB (fórmula geral): 400\cos\theta (não é possível dar um valor numérico porque não existe \theta que satisfaça a condição do enunciado).

Exercícios relacionados