Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
Defina fluxo convectivo e fluxo molcular.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que eu defina fluxo convectivo e fluxo molecular.
Informações relevantes presentes no enunciado:
Informações relevantes presentes no enunciado:
- A variável escalar transportada é
. - Aparecem a derivada temporal
e o termo advectivo . - Há uma fonte/geração indicada por
. - Há um termo difusivo
. - Aparece um termo
relacionado à divergência do campo de velocidade .
A partir disso a tarefa é identificar e definir explicitamente o que são os fluxos convectivo e molecular que aparecem implicitamente nessa equação.
Passo 2
Vou reescrever a equação em forma conservativa (forma em divergência), porque aí os fluxos aparecem naturalmente como vetores cujo divergente representa transporte. Para isso, somo
aos dois lados e uso a identidade vetorial
Aplicando isso obtemos
Esta é a forma conservativa: taxa de variação local + divergência do fluxo total = fontes.
Passo 3
Agora identifico o termo convectivo. Na equação conservativa o termo de transporte devido ao movimento do fluido aparece como
. O vetor fluxo convectivo é exatamente o integrando dentro da divergência:
Explicação didática:
é a quantidade por unidade de volume (por exemplo concentração, temperatura como quantidade conveniente, etc.) e
é a velocidade de transporte do fluido. O produto
dá a taxa (por unidade de área) com que a quantidade
é levada pela velocidade do fluido — ou seja, transporte por convecção/adiabática. No exame, sempre que vir
e/ou
combinando, lembre-se da identidade acima para reconhecer
e extrair
.
Passo 4
Agora trato o termo difusivo
. Podemos escrever esse termo como divergência de um fluxo molecular:
Portanto o vetor fluxo molecular (ou difusivo) é
Explicação didática: esta é a forma de primeira lei de Fick (para concentração) ou lei de condução de Fourier (para temperatura), escrito genericamente. O sinal negativo indica que o fluxo molecular vai do ponto de maior
para o ponto de menor
(ou seja, ao longo do gradiente negativo), e
é o coeficiente de difusividade (unidade típica
). Na prova, reconheça o operador laplaciano
como divergência do gradiente e invoque a expressão acima para identificar o fluxo difusivo.
Passo 5
Reescrevendo a equação completa em forma de conservação do modo mais transparente, junta-se o fluxo convectivo e o molecular:
onde já definimos
. Isso mostra fisicamente que o transporte total de
através de uma superfície é a soma do transporte por convecção (movimento do fluido) e do transporte por difusão molecular (movimento aleatório que tende a suavizar gradientes).
Passo 6
Exemplos rápidos e intuição prática:
- Se
for concentração de soluto e for velocidade do escoamento, representa o soluto sendo arrastado pelo escoamento; representa o soluto se espalhando de zonas de alta para baixa concentração. - Em 1D com
e constante: e . Se e , então (fluxo para a direita), mostrando que fluxo molecular vai sempre contra o gradiente de .
Dica para prova: identifique primeiro se a equação pode ser posta em forma; os fluxos aparecem diretamente dentro da divergência.