Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
Defina fluxo convectivo e fluxo molcular.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
e pede que eu defina fluxo convectivo e fluxo molecular.
Informações relevantes presentes no enunciado:
  • A variável escalar transportada é \psi.
  • Aparecem a derivada temporal \frac{\partial \psi}{\partial t} e o termo advectivo (v\cdot\nabla)\psi.
  • Há uma fonte/geração indicada por \dot{\psi}_{G}.
  • Há um termo difusivo \delta(\nabla\cdot\nabla\psi)=\delta\nabla^{2}\psi.
  • Aparece um termo -\psi(\nabla\cdot v) relacionado à divergência do campo de velocidade v.
    A partir disso a tarefa é identificar e definir explicitamente o que são os fluxos convectivo e molecular que aparecem implicitamente nessa equação.

Passo 2

Vou reescrever a equação em forma conservativa (forma em divergência), porque aí os fluxos aparecem naturalmente como vetores cujo divergente representa transporte. Para isso, somo \psi(\nabla\cdot v) aos dois lados e uso a identidade vetorial
\nabla\cdot(\psi v)= (v\cdot\nabla)\psi + \psi(\nabla\cdot v).
Aplicando isso obtemos
\frac{\partial \psi}{\partial t} + \nabla\cdot(\psi v) = \dot{\psi}_{G} + \delta \nabla^{2}\psi.
Esta é a forma conservativa: taxa de variação local + divergência do fluxo total = fontes.

Passo 3

Agora identifico o termo convectivo. Na equação conservativa o termo de transporte devido ao movimento do fluido aparece como \nabla\cdot(\psi v). O vetor fluxo convectivo é exatamente o integrando dentro da divergência:
\mathbf{j}_{\text{conv}}=\psi\,\mathbf{v}.
Explicação didática: \psi é a quantidade por unidade de volume (por exemplo concentração, temperatura como quantidade conveniente, etc.) e \mathbf{v} é a velocidade de transporte do fluido. O produto \psi\mathbf{v} dá a taxa (por unidade de área) com que a quantidade \psi é levada pela velocidade do fluido — ou seja, transporte por convecção/adiabática. No exame, sempre que vir (v\cdot\nabla)\psi e/ou -\psi(\nabla\cdot v) combinando, lembre-se da identidade acima para reconhecer \nabla\cdot(\psi v) e extrair \mathbf{j}_{\text{conv}}.

Passo 4

Agora trato o termo difusivo \delta \nabla^{2}\psi. Podemos escrever esse termo como divergência de um fluxo molecular:
\delta \nabla^{2}\psi = -\nabla\cdot\bigl(-\delta \nabla\psi\bigr).
Portanto o vetor fluxo molecular (ou difusivo) é
\mathbf{j}_{\text{mol}} = -\delta\,\nabla\psi.
Explicação didática: esta é a forma de primeira lei de Fick (para concentração) ou lei de condução de Fourier (para temperatura), escrito genericamente. O sinal negativo indica que o fluxo molecular vai do ponto de maior \psi para o ponto de menor \psi (ou seja, ao longo do gradiente negativo), e \delta é o coeficiente de difusividade (unidade típica \text{[length]}^{2}/\text{time}). Na prova, reconheça o operador laplaciano \nabla^{2}\psi como divergência do gradiente e invoque a expressão acima para identificar o fluxo difusivo.

Passo 5

Reescrevendo a equação completa em forma de conservação do modo mais transparente, junta-se o fluxo convectivo e o molecular:
\frac{\partial \psi}{\partial t} + \nabla\cdot\bigl(\psi\mathbf{v} + \mathbf{j}_{\text{mol}}\bigr) = \dot{\psi}_{G},
onde já definimos \mathbf{j}_{\text{mol}}=-\delta\nabla\psi. Isso mostra fisicamente que o transporte total de \psi através de uma superfície é a soma do transporte por convecção (movimento do fluido) e do transporte por difusão molecular (movimento aleatório que tende a suavizar gradientes).

Passo 6

Exemplos rápidos e intuição prática:
  • Se \psi for concentração de soluto e \mathbf{v} for velocidade do escoamento, \mathbf{j}_{\text{conv}}=\psi\mathbf{v} representa o soluto sendo arrastado pelo escoamento; \mathbf{j}_{\text{mol}}=-\delta\nabla\psi representa o soluto se espalhando de zonas de alta para baixa concentração.
  • Em 1D com \psi=\psi(x) e \mathbf{v}=v\hat{x} constante: \mathbf{j}_{\text{conv}}=\psi v\hat{x} e \mathbf{j}_{\text{mol}}=-\delta \frac{d\psi}{dx}\hat{x}. Se \frac{d\psi}{dx}<0 e \delta>0, então \mathbf{j}_{\text{mol}}>0 (fluxo para a direita), mostrando que fluxo molecular vai sempre contra o gradiente de \psi.
    Dica para prova: identifique primeiro se a equação pode ser posta em forma \partial_t\psi + \nabla\cdot(\text{fluxes})=\text{fontes}; os fluxos aparecem diretamente dentro da divergência.

Resposta

\mathbf{j}_{\text{conv}}=\psi\,\mathbf{v}
\mathbf{j}_{\text{mol}}=-\delta\,\nabla\psi

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