Os vetores \mathbf{P} e \mathbf{Q} constituem dois lados adjacentes de um paralelogra-mo. Determine a área do paralelogramo quando \mathbf{P}=-8 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}+4 \mathbf{k} e \mathbf{Q}=3 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}+ 6 \mathbf{k};
Passo 1
O enunciado pede a área do paralelogramo cujos lados adjacentes são os vetores \mathbf{P} e \mathbf{Q}. As informações dadas são:
O que precisamos devolver é a área do paralelogramo formado por esses dois vetores.
Passo 2
Conceito essencial que vamos usar (explicado devagar): a área do paralelogramo gerado por dois vetores \mathbf{P} e \mathbf{Q} em \mathbb{R}^3 é igual ao comprimento (módulo) do produto vetorial \mathbf{P}\times\mathbf{Q}. Intuição rápida: o produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores e o comprimento desse vetor é exatamente a base vezes altura do paralelogramo — ou seja, a área. Portanto, calcular a área = calcular \|\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\|.
Passo 3
Escrevo os vetores como componentes para facilitar os cálculos: