Os vetores \mathbf{P} e \mathbf{Q} constituem dois lados adjacentes de um paralelogra-mo. Determine a área do paralelogramo quando
\mathbf{P}=-8 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}+4 \mathbf{k} e \mathbf{Q}=3 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}+ 6 \mathbf{k};

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo cujos lados adjacentes são os vetores \mathbf{P} e \mathbf{Q}. As informações dadas são:
\mathbf{P} = -8\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k}
\mathbf{Q} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
O que precisamos devolver é a área do paralelogramo formado por esses dois vetores.

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar (explicado devagar): a área do paralelogramo gerado por dois vetores \mathbf{P} e \mathbf{Q} em \mathbb{R}^3 é igual ao comprimento (módulo) do produto vetorial \mathbf{P}\times\mathbf{Q}. Intuição rápida: o produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores e o comprimento desse vetor é exatamente a base vezes altura do paralelogramo — ou seja, a área. Portanto, calcular a área = calcular \|\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\|.

Passo 3

Escrevo os vetores como componentes para facilitar os cálculos:
\mathbf{P} = \langle -8,\,4,\,4\rangle,\qquad \mathbf{Q} = \langle 3,\,3,\,6\rangle.

Passo 4

Fórmula prática para o produto vetorial: podemos usar a regra do determinante
\mathbf{P}\times\mathbf{Q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] P_x & P_y & P_z \\[4pt] Q_x & Q_y & Q_z \end{vmatrix},
ou, componente a componente,
(\mathbf{P}\times\mathbf{Q})_x = P_yQ_z - P_zQ_y,
(\mathbf{P}\times\mathbf{Q})_y = P_zQ_x - P_xQ_z,
(\mathbf{P}\times\mathbf{Q})_z = P_xQ_y - P_yQ_x.
Aqui P_x,P_y,P_z são as componentes de \mathbf{P} e Q_x,Q_y,Q_z as de \mathbf{Q}.]

Passo 5

Calculo cada componente usando as fórmulas acima:
(\mathbf{P}\times\mathbf{Q})_x = P_yQ_z - P_zQ_y = 4\cdot 6 - 4\cdot 3 = 24 - 12 = 12.
(\mathbf{P}\times\mathbf{Q})_y = P_zQ_x - P_xQ_z = 4\cdot 3 - (-8)\cdot 6 = 12 - (-48) = 12 + 48 = 60.
(\mathbf{P}\times\mathbf{Q})_z = P_xQ_y - P_yQ_x = (-8)\cdot 3 - 4\cdot 3 = -24 - 12 = -36.

Passo 6

Portanto o produto vetorial é
\mathbf{P}\times\mathbf{Q} = \langle 12,\,60,\,-36\rangle.
Observação útil: dá para notar um fator comum 12, pois \langle 12,60,-36\rangle = 12\langle 1,5,-3\rangle. Isso ajuda a simplificar a raiz depois.

Passo 7

Agora calculamos o módulo (comprimento) do vetor \mathbf{P}\times\mathbf{Q}:
\|\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\| = \sqrt{12^{2} + 60^{2} + (-36)^{2}}.
Faço as contas:
12^{2} = 144,\quad 60^{2} = 3600,\quad (-36)^{2} = 1296.
Somando:
144 + 3600 + 1296 = 5040.
Logo
\|\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\| = \sqrt{5040}.

Passo 8

Simplifico \sqrt{5040}. Note que 5040 = 144 \cdot 35 porque 144\cdot 35 = 5040. Então
\sqrt{5040} = \sqrt{144\cdot 35} = \sqrt{144}\,\sqrt{35} = 12\sqrt{35}.
Isso coincide com notar o fator 12 que tiramos antes: \|12\langle1,5,-3\rangle\| = 12\|\langle1,5,-3\rangle\| = 12\sqrt{1^2+5^2+(-3)^2} = 12\sqrt{35}.

Resposta

12\sqrt{35}

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