Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
Reescreva a equação (1) em coordenadas esféricas para transferencia de calor.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede que reescrevamos essa equação em coordenadas esféricas para transferência de calor.
Informações relevantes dadas (sem resolver ainda):
Informações relevantes dadas (sem resolver ainda):
e constantes/funções:
(termo fonte),
(coeficiente multiplicando o laplaciano).
O que é pedido: expressar cada operador ,
,
(ou
) e
em coordenadas esféricas e montar a equação completa.
O que é pedido: expressar cada operador
Passo 2
Definindo coordenadas esféricas e o gradiente (explicação didática curta):
- As coordenadas esféricas são
, onde é a distância radial, é o ângulo polar (colatitude, medido a partir do eixo ) e é o ângulo azimutal. - A função
depende das três coordenadas espaciais e do tempo: .
O gradiente de um escalar em coordenadas esféricas (fórmula padrão que usamos) é:
onde
são os versores locais.
Passo 3
Convectivo
(explicação e fórmula):
- Produto escalar entre o vetor velocidade
e o gradiente acima dá o termo convectivo. - Calculando:
Explicação: cada componente de
multiplica a derivada direcional correspondente; os fatores
e
aparecem porque as derivadas angulares têm dimensões de comprimento multiplicadas por esses fatores.
Passo 4
Laplaciano de
em esféricas (fórmula e explicação):
- Para difusão/condutividade térmica usamos
. Em coordenadas esféricas:
Explicação: o primeiro termo é a parte radial (com o
por causa do volume esférico), os outros dois são as contribuições angulares (derivadas em
e
), com os fatores
que aparecem por causa da métrica esférica.
Passo 5
Divergência do campo de velocidade
(fórmula e explicação):
- A divergência em coordenadas esféricas é
Explicação: primeiro termo mede expansão/contração radial; os demais medem variação das componentes angulares ponderadas pelos fatores geométricos.
Passo 6
Substituir todas as expressões na equação original e escrever a forma totalmente expandida em coordenadas esféricas:
- Começamos com a equação dada e substituímos o termo convectivo, o laplaciano e a divergência pelo que foi calculado nos passos anteriores.
- A equação em coordenadas esféricas fica (forma expandida):
Explicação final: essa é a forma completa em esféricas. Cada termo tem interpretação física: derivada temporal, convecção, fonte, difusão (laplaciano multiplicado por
) e terminação por dilatação/contracção do fluido
).