Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
Reescreva a equação (1) em coordenadas esféricas para transferencia de calor.

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
e pede que reescrevamos essa equação em coordenadas esféricas para transferência de calor.
Informações relevantes dadas (sem resolver ainda):
\text{função: }\psi=\psi(r,\theta,\varphi,t),\quad \text{vetor velocidade: }v=(v_r,v_\theta,v_\varphi)çã
e constantes/funções: \dot{\psi}_G (termo fonte), \delta (coeficiente multiplicando o laplaciano).
O que é pedido: expressar cada operador \nabla\psi, (v\cdot\nabla)\psi, \nabla\cdot\nabla\psi (ou \nabla^2\psi) e \nabla\cdot v em coordenadas esféricas e montar a equação completa.

Passo 2

Definindo coordenadas esféricas e o gradiente (explicação didática curta):
  • As coordenadas esféricas são (r,\theta,\varphi), onde r é a distância radial, \theta é o ângulo polar (colatitude, medido a partir do eixo z) e \varphi é o ângulo azimutal.
  • A função \psi depende das três coordenadas espaciais e do tempo: \psi=\psi(r,\theta,\varphi,t).
    O gradiente de um escalar em coordenadas esféricas (fórmula padrão que usamos) é:
\nabla \psi = \mathbf{e}_r\frac{\partial\psi}{\partial r}+\mathbf{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}+\mathbf{e}_\varphi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi},
onde \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi são os versores locais.

Passo 3

Convectivo (v\cdot\nabla)\psi (explicação e fórmula):
  • Produto escalar entre o vetor velocidade v=v_r\mathbf{e}_r+v_\theta\mathbf{e}_\theta+v_\varphi\mathbf{e}_\varphi e o gradiente acima dá o termo convectivo.
  • Calculando:
(v\cdot\nabla)\psi = v_r\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}+\frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}.
Explicação: cada componente de v multiplica a derivada direcional correspondente; os fatores 1/r e 1/(r\sin\theta) aparecem porque as derivadas angulares têm dimensões de comprimento multiplicadas por esses fatores.

Passo 4

Laplaciano de \psi em esféricas (fórmula e explicação):
  • Para difusão/condutividade térmica usamos \nabla^2\psi=\nabla\cdot(\nabla\psi). Em coordenadas esféricas:
\nabla^2\psi = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\varphi^{2}}.
Explicação: o primeiro termo é a parte radial (com o r^2 por causa do volume esférico), os outros dois são as contribuições angulares (derivadas em \theta e \varphi), com os fatores \sin\theta que aparecem por causa da métrica esférica.

Passo 5

Divergência do campo de velocidade \nabla\cdot v (fórmula e explicação):
  • A divergência em coordenadas esféricas é
\nabla\cdot v = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}v_{r}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\,v_{\theta}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Explicação: primeiro termo mede expansão/contração radial; os demais medem variação das componentes angulares ponderadas pelos fatores geométricos.

Passo 6

Substituir todas as expressões na equação original e escrever a forma totalmente expandida em coordenadas esféricas:
  • Começamos com a equação dada e substituímos o termo convectivo, o laplaciano e a divergência pelo que foi calculado nos passos anteriores.
  • A equação em coordenadas esféricas fica (forma expandida):
\begin{aligned} \frac{\partial\psi}{\partial t} &+ v_{r}\frac{\partial\psi}{\partial r} +\frac{v_{\theta}}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} +\frac{v_{\varphi}}{r\sin\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi} \\\ &= \dot{\psi}_{G} + \delta\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\varphi^{2}} \right] \\\ &\quad - \psi\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}v_{r}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\,v_{\theta}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi} \right]. \end{aligned}
Explicação final: essa é a forma completa em esféricas. Cada termo tem interpretação física: derivada temporal, convecção, fonte, difusão (laplaciano multiplicado por \delta) e terminação por dilatação/contracção do fluido (- \psi\,\nabla\cdot v)).

Resposta

\begin{aligned} \frac{\partial\psi}{\partial t} &+ v_{r}\frac{\partial\psi}{\partial r} +\frac{v_{\theta}}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} +\frac{v_{\varphi}}{r\sin\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi} \\\ &= \dot{\psi}_{G} + \delta\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\varphi^{2}} \right] \\\ &\quad - \psi\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}v_{r}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\,v_{\theta}\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi} \right]. \end{aligned}

Exercícios relacionados