Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi(\nabla \cdot v)
Proponha uma simplificação da equação do movimento em coordenadas cartesianas apresente as considerações adotadas.

Passo 1

O enunciado me dá a equação escalar
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla\cdot\nabla\psi)-\psi(\nabla\cdot\mathbf{v})
e pede que eu proponha uma simplificação dessa equação em coordenadas cartesianas, apresentando as considerações adotadas.
Informações relevantes dadas:
  • \psi=\psi(x,y,z,t) é uma variável escalar qualquer (por exemplo concentração, temperatura, etc.).
  • \mathbf{v} é o campo de velocidade (vetor).
  • \dot{\psi}_{G} representa uma taxa de geração/local fonte de \psi.
  • \delta é um coeficiente associado ao termo \nabla\cdot\nabla\psi (difusão) e pode ser função do espaço ou constante.
  • O último termo -\psi(\nabla\cdot\mathbf{v}) representa um efeito ligado à divergência do campo de velocidade (compressibilidade/expansão).
    O objetivo é escrever isto em coordenadas cartesianas e, em seguida, propor simplificações razoáveis, explicando quando e por que cada simplificação é válida.

Passo 2

Primeiro vou explicar e expandir cada operador vetorial em coordenadas cartesianas (isso é mecânica — ótimo para a prova):
  • Defino as componentes do vetor velocidade como \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), onde cada v_i=v_i(x,y,z,t).
  • O operador nabla é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z), onde \partial_x é abreviação de \partial/\partial x, etc.
  • O termo convectivo (\mathbf{v}\cdot\nabla)\psi expande-se como
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\psi = v_x\frac{\partial \psi}{\partial x}+v_y\frac{\partial \psi}{\partial y}+v_z\frac{\partial \psi}{\partial z}.
Expliquei: é só multiplicar componente a componente e aplicar a derivada correspondente.
  • O laplaciano (aqui escrito como \nabla\cdot\nabla\psi ou \nabla^2\psi) em cartesianas é
\nabla\cdot\nabla\psi=\nabla^2\psi=\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}.
  • A divergência do campo de velocidade é
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, obtenho a forma totalmente expandida em coordenadas cartesianas:
\frac{\partial \psi}{\partial t} +v_x\frac{\partial \psi}{\partial x}+v_y\frac{\partial \psi}{\partial y}+v_z\frac{\partial \psi}{\partial z} =\dot{\psi}_{G}+\delta\!\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right) -\psi\!\left(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\right).

Passo 4

Agora uma mini-aula sobre o papel de cada termo (pra você entender quando dá pra simplificar):
  • \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t}: variação local no tempo — aparece se o problema for instacionário. Se o processo já atingiu estado estacionário, esse termo vai a zero.
  • (\mathbf{v}\cdot\nabla)\psi: transporte (advecção) por fluxo — domina quando o transporte por movimento do fluido é mais importante que a difusão.
  • \dot{\psi}_G: fonte/geração local — pode representar reação química, término/produção. Se não houver geração, ponha \dot{\psi}_G=0.
  • \delta\nabla^2\psi: difusão (ou viscosidade, condutividade, etc.) — suaviza gradientes. Se \delta é constante, sai direto; se depende de x,y,z, o termo correto seria \nabla\cdot(\delta\nabla\psi) (atenção na prova!).
  • -\psi(\nabla\cdot\mathbf{v}): efeito de compressibilidade/expansão — se o fluxo é incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0) esse termo some. Em muitos problemas de fluidos incompressíveis ele é zero.

Passo 5

Listei agora as simplificações usualmente adotadas (cada uma com o porquê e quando usar):
  1. Fluido incompressível: assumir \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Justificativa: líquidos geralmente são aproximadamente incompressíveis; ganha-se ao eliminar o termo -\psi(\nabla\cdot\mathbf{v}).
  2. Difusividade constante: \delta= constante. Justificativa: se as propriedades do meio são homogêneas; simplifica \delta\nabla^2\psi. Se \delta variar, usar \nabla\cdot(\delta\nabla\psi).
  3. Estado estacionário: \partial\psi/\partial t=0. Justificativa: quando queremos solução final não dependente do tempo.
  4. Redução de dimensão: considerar 2D ( \partial/\partial z=0) ou 1D ( \partial/\partial y=\partial/\partial z=0) se o problema o permitir (geometria homogênea numa direção).
  5. Negligenciar geração: \dot{\psi}_G=0 se não existir fonte/reação relevante.
  6. Regimes advectivo ou difusivo dominantes via número de Peclet: definir Pe=UL/\delta. Se Pe\gg1, advecção domina (difusão negligenciável); se Pe\ll1, difusão domina (advecção pode ser negligenciada).
    Use essas considerações conforme a física do problema e a escala característica.

Passo 6

Vou montar algumas formas simplificadas típicas (úteis na prova). Em cada caso eu escrevo a hipótese usada:
Caso geral expandido (sem simplificar hipóteses):
\frac{\partial \psi}{\partial t}+v_x\partial_x\psi+v_y\partial_y\psi+v_z\partial_z\psi =\dot{\psi}_G+\delta(\partial_{xx}\psi+\partial_{yy}\psi+\partial_{zz}\psi)-\psi(\partial_x v_x+\partial_y v_y+\partial_z v_z).
Hipótese A — incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0) e \delta constante:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+v_x\partial_x\psi+v_y\partial_y\psi+v_z\partial_z\psi =\dot{\psi}_G+\delta(\partial_{xx}\psi+\partial_{yy}\psi+\partial_{zz}\psi).
Hipótese B — adicionalmente estacionário ( \partial_t\psi=0) e sem geração ( \dot{\psi}_G=0), fluxo incompressível:
v_x\partial_x\psi+v_y\partial_y\psi+v_z\partial_z\psi =\delta(\partial_{xx}\psi+\partial_{yy}\psi+\partial_{zz}\psi).
(essa é a equação clássica de advecção-difusão estacionária incompressível).
Hipótese C — caso 1D unidirecional ao longo de x: v_x=u(x), v_y=v_z=0, \partial_y=\partial_z=0, estacionário, sem geração:
u\frac{d\psi}{dx}=\delta\frac{d^2\psi}{dx^2}.
Isto é ótimo para exercícios de prova vì que reduz a PDE a ODE de segunda ordem.

Passo 7

Observações práticas para a prova (como decidir qual versão usar, rápido):
  • Se o enunciado diz “fluido incompressível” ou dá densidade constante -> use \nabla\cdot\mathbf{v}=0.
  • Se o enunciado fala “regime estacionário” ou pede solução independente do tempo -> ponha \partial_t\psi=0.
  • Se aparece a palavra “unidimensional” ou a geometria é canal longo com variação só em x -> reduza para 1D.
  • Calcule o número de Peclet Pe=UL/\delta (onde U é escala típica de velocidade e L comprimento característico): isso te diz se pode ou não desprezar difusão/advecção.
  • Atenção ao detalhe técnico: se \delta não for constante, o termo correto é \nabla\cdot(\delta\nabla\psi) — não esquece disso na prova, pois é erro comum.

Resposta

\frac{\partial \psi}{\partial t} +v_x\frac{\partial \psi}{\partial x}+v_y\frac{\partial \psi}{\partial y}+v_z\frac{\partial \psi}{\partial z} =\dot{\psi}_{G}+\delta\!\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right) -\psi\!\left(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\right)
\text{(Se } \nabla\cdot\mathbf{v}=0 \text{ e } \delta=\text{const.)}\quad \frac{\partial \psi}{\partial t}+v_x\partial_x\psi+v_y\partial_y\psi+v_z\partial_z\psi =\dot{\psi}_G+\delta(\partial_{xx}\psi+\partial_{yy}\psi+\partial_{zz}\psi)
\text{(Se ainda estacionário e sem geração)}\quad v_x\partial_x\psi+v_y\partial_y\psi+v_z\partial_z\psi =\delta(\partial_{xx}\psi+\partial_{yy}\psi+\partial_{zz}\psi)áçã
\text{(Caso 1D estacionário sem geração, }v_x=u,\;v_y=v_z=0)\quad u\frac{d\psi}{dx}=\delta\frac{d^2\psi}{dx^2}áçã

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