Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
Proponha uma simplificação da equação do movimento em coordenadas cartesianas apresente as considerações adotadas.
Passo 1
O enunciado me dá a equação escalar
e pede que eu proponha uma simplificação dessa equação em coordenadas cartesianas, apresentando as considerações adotadas.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é uma variável escalar qualquer (por exemplo concentração, temperatura, etc.). -
é o campo de velocidade (vetor). -
representa uma taxa de geração/local fonte de . -
é um coeficiente associado ao termo (difusão) e pode ser função do espaço ou constante. - O último termo
representa um efeito ligado à divergência do campo de velocidade (compressibilidade/expansão).
O objetivo é escrever isto em coordenadas cartesianas e, em seguida, propor simplificações razoáveis, explicando quando e por que cada simplificação é válida.
Passo 2
Primeiro vou explicar e expandir cada operador vetorial em coordenadas cartesianas (isso é mecânica — ótimo para a prova):
- Defino as componentes do vetor velocidade como
, onde cada . - O operador nabla é
, onde é abreviação de , etc. - O termo convectivo
expande-se como
Expliquei: é só multiplicar componente a componente e aplicar a derivada correspondente.
- O laplaciano (aqui escrito como
ou ) em cartesianas é
- A divergência do campo de velocidade é
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original, obtenho a forma totalmente expandida em coordenadas cartesianas:
Passo 4
Agora uma mini-aula sobre o papel de cada termo (pra você entender quando dá pra simplificar):
-
: variação local no tempo — aparece se o problema for instacionário. Se o processo já atingiu estado estacionário, esse termo vai a zero. -
: transporte (advecção) por fluxo — domina quando o transporte por movimento do fluido é mais importante que a difusão. -
: fonte/geração local — pode representar reação química, término/produção. Se não houver geração, ponha . -
: difusão (ou viscosidade, condutividade, etc.) — suaviza gradientes. Se é constante, sai direto; se depende de , o termo correto seria (atenção na prova!). -
: efeito de compressibilidade/expansão — se o fluxo é incompressível ( ) esse termo some. Em muitos problemas de fluidos incompressíveis ele é zero.
Passo 5
Listei agora as simplificações usualmente adotadas (cada uma com o porquê e quando usar):
- Fluido incompressível: assumir
. Justificativa: líquidos geralmente são aproximadamente incompressíveis; ganha-se ao eliminar o termo . - Difusividade constante:
constante. Justificativa: se as propriedades do meio são homogêneas; simplifica . Se variar, usar . - Estado estacionário:
. Justificativa: quando queremos solução final não dependente do tempo. - Redução de dimensão: considerar 2D (
) ou 1D ( ) se o problema o permitir (geometria homogênea numa direção). - Negligenciar geração:
se não existir fonte/reação relevante. - Regimes advectivo ou difusivo dominantes via número de Peclet: definir
. Se , advecção domina (difusão negligenciável); se , difusão domina (advecção pode ser negligenciada).
Use essas considerações conforme a física do problema e a escala característica.
Passo 6
Vou montar algumas formas simplificadas típicas (úteis na prova). Em cada caso eu escrevo a hipótese usada:
Caso geral expandido (sem simplificar hipóteses):
Hipótese A — incompressível (
) e
constante:
Hipótese B — adicionalmente estacionário (
) e sem geração (
), fluxo incompressível:
(essa é a equação clássica de advecção-difusão estacionária incompressível).
Hipótese C — caso 1D unidirecional ao longo de
:
,
,
, estacionário, sem geração:
Isto é ótimo para exercícios de prova vì que reduz a PDE a ODE de segunda ordem.
Passo 7
Observações práticas para a prova (como decidir qual versão usar, rápido):
- Se o enunciado diz “fluido incompressível” ou dá densidade constante -> use
. - Se o enunciado fala “regime estacionário” ou pede solução independente do tempo -> ponha
. - Se aparece a palavra “unidimensional” ou a geometria é canal longo com variação só em
-> reduza para 1D. - Calcule o número de Peclet
(onde é escala típica de velocidade e comprimento característico): isso te diz se pode ou não desprezar difusão/advecção. - Atenção ao detalhe técnico: se
não for constante, o termo correto é — não esquece disso na prova, pois é erro comum.