Com base na distribuição granulométrica de uma amostra de mineral, calcule os diâmetros médios (superficie e volume) e compare com o diâmetro médio de Sauter. Em seguida, através dos GGS e RRB construa os gráficos que descrevam essa distribuição. Após isso, verifique qual o melhor modelo que representar os pontos experimentais.
0,086
0,077
0,057
0,038
0,025
0,019
0,015
0,011
0,008
0,005
0,003
0,003
12,6
38,7
50
63,7
32,5
17,4
11,2
7,8
3,7
2,6
1,8
1,1
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0,086 | 0,077 | 0,057 | 0,038 | 0,025 | 0,019 | 0,015 | 0,011 | 0,008 | 0,005 | 0,003 | 0,003 |
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12,6 | 38,7 | 50 | 63,7 | 32,5 | 17,4 | 11,2 | 7,8 | 3,7 | 2,6 | 1,8 | 1,1 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição granulométrica por classes (diâmetro representativo de cada classe e massa correspondente) e pede: calcular os diâmetros médios (superfície e volume), comparar com o diâmetro de Sauter, construir os gráficos GGS e RRB para descrever a distribuição e verificar qual modelo melhor representa os pontos experimentais.
Dados (peguei diretamente da tabela do enunciado):
Dados (peguei diretamente da tabela do enunciado):
O que eu vou entregar: (1) derivação das fórmulas apropriadas quando os dados são massas por classe (assumindo densidade constante das partículas); (2) cálculo passo a passo dos diâmetros médios; (3) construção das linearizações para os dois modelos (GGS — vou usar a forma de Gaudin–Schuhmann, linear em log-log — e RRB — Rosin–Rammler–Bennett, linear após transformação dupla logarítmica), com ajuste por mínimos quadrados; (4) comparação dos ajustes e conclusão sobre o melhor modelo.
Passo 2
Preliminar: transformar masses em frações acumuladas (necessário para os gráficos e ajustes). Primeiro calculei a massa total:
Para cada diâmetro
considero a massa
como massa total da classe. A percentagem acumulada “passante” (finer, partículas com diâmetro
) é
Calculei as massas acumuladas e
(vou mostrar a lista usada nos passos posteriores). Estas percentagens são as que se encontram tipicamente no gráfico granulométrico (e são as entradas para as linearizações).
Passo 3
Qual fórmula usar para os diâmetros médios quando tenho massas por classes? Explico didaticamente: a fórmula geral de um diâmetro médio do tipo
(momento de ordem
sobre ordem
) é
onde
é o número de partículas na classe
. Mas nós temos massas
. Se a densidade é constante e cada partícula é aproximadamente esférica, a massa total da classe é proporcional a
. Assim
(com
constante que cancela em razões). Substituindo acima obtém-se, em termos de massas,
Duas grandezas pedidas (as mais usadas em processamento de minerais) são:
- Diâmetro médio por superfície:
. Substituindo ,
Isto é intuitivo: é a média ponderada pela área (momento 2 sobre 1, convertido para massa).
- Diâmetro médio por volume (média ponderada pela massa):
.
Observe queporque e , logo a razão dá . Esta é a média de volume (média ponderada pela massa) e é prática quando se têm massas.
O diâmetro de Sauter ée, usando massas, fica (substituindo ):
Resumo das fórmulas que vou usar:
Passo 4
Cálculos das somas necessárias (mostro os resultados intermediários principais).
Soma das massas:
Soma das massas:
Soma das massas vezes
:
Soma das massas divididas por
:
Soma das massas divididas por
:
Esses quatro valores são suficientes para calcular
,
e
.
Passo 5
Cálculo do diâmetro médio por volume (
):
(ou seja cerca de
). Eu mostrei como somei cada
no Passo 4.
Passo 6
Cálculo do diâmetro de Sauter (
):
(ou seja cerca de
).
Passo 7
Cálculo do diâmetro médio por superfície (
):
(ou seja cerca de
). Note a ordem:
, o que é típico quando há mais massa em partículas maiores — a média ponderada pela massa dá mais peso às partículas maiores.
Passo 8
Preparação para os gráficos/ajustes: cálculo da distribuição acumulada
(fração passante). Ordenei os diâmetros em ordem crescente e calculei
(fração, entre 0 e 1). Os valores usados (resumidos) foram:
(omitido o ponto
correspondente a
porque as transformações logarítmicas usadas exigem
.)
Passo 9
GGS (vou interpretar como Gaudin–Schuhmann linearização): modelo de potência (Gaudin–Schuhmann) assume
que em forma linear dá
Ou seja, se plotarmos
versus
esperamos uma reta de inclinação
. Para ajustar por mínimos quadrados calculei
e
para os 10 pontos acima e usei a fórmula de regressão linear (coeficiente angular e intercepto). Os resultados obtidos (detalhei as somas e o processo nos passos anteriores) foram:
- inclinação (expoente)
, - intercepto
(onde ), daí
Para quantificar a qualidade do ajuste calculei o coeficiente de determinação
da regressão (método dos mínimos quadrados) e obtive
Passo 10
RRB (Rosin–Rammler–Bennett): modelo é
Transformação para linearizar:
Assim um gráfico de
versus
deve ser linear; a inclinação dá
e o intercepto dá
. Fiz a regressão linear com os mesmos 10 pontos (usando
da tabela do Passo 8) e obtive:
- inclinação (expoente)
, - intercepto
, e portanto
O coeficiente de determinação do ajuste RRB foi
novamente um ajuste muito bom, mas um pouco inferior ao do modelo GS (Gaudin–Schuhmann), segundo as aproximações numéricas feitas.
Passo 11
Interpretação e comparação dos modelos:
- Ambos os modelos (Gaudin–Schuhmann e Rosin–Rammler–Bennett) ajustam muito bem os dados experimentais (valores
muito próximos de 1). - Com os números que calculei, o modelo de Gaudin–Schuhmann (GGS) apresenta um ajuste ligeiramente melhor (
) que o modelo Rosin–Rammler–Bennett ( ). Logo, com base no critério de , o modelo GGS representa melhor os pontos experimentais nesta amostra. - Parâmetros estimados (resumo):
]
Resposta
Melhor modelo (pelo critério