Deseja-se separar uma mistura de cristais em 3 frações: uma fração de grossos, retida na peneira \# 8, uma intermediária, que passa na peneira \# 8 mas fica retida na #14, e uma fração de finos, que passa na peneira #14. São usadas duas peneiras de padrão Tyler, de 8 e 14 mesh, em série. A análise granulométrica é dada na tabela abaixo.
Table 1: Tabela 1 - Análise granulométrica
\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh Tyler Alimentação Frações obtidas
Grossos Intermediário Finos
3 / 4 3,5 14,0 - -
4 / 6 15,0 50,0 4,2 -
6 / 8 27,5 24,0 35,8 -
8 /10 23,5 8,0 30,8 20,0
10/14 16,0 4,0 18,3 26,7
14/20 9,1 - 10,2 20,2
20/28 3,4 - 0,7 19,6
28/35 1,3 - - 8,9
35/48 0,7 - - 4,6
Total 100,0 100,0 100,0 100,0
a) Considerando que as análises são precisas, qual a proporção (de grossos, intermediários e finos) realmente obtida em cada uma das frações em relação à alimentação? (dica: assuma uma base de calculo para a alimentação)
b) Qual a eficiência global de cada peneira?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. a) A proporção (em relação à alimentação) que aparece nas três frações finais: grossos (retidos na peneira \#8), intermediários (passam na \#8 e ficam retidos na \#14) e finos (passam na \#14).
  2. b) A eficiência global de cada peneira ( \#8 e \#14).
Informações relevantes (peguei os números da tabela fornecida):
  • Composição da alimentação por classes de malha (vou usar uma base de cálculo de 100 unidades de massa na alimentação):
    3/4: 3{,}5 \%, 4/6: 15{,}0 \%, 6/8: 27{,}5 \%, 8/10: 23{,}5 \%, 10/14: 16{,}0 \%, 14/20: 9{,}1 \%, 20/28: 3{,}4 \%, 28/35: 1{,}3 \%, 35/48: 0{,}7 \%. Total =100 \%.
  • Composição interna de cada fração (colunas “Grossos”, “Intermediário”, “Finos” na tabela): cada coluna soma 100 \%, isto é: por exemplo, a fração “Grossos” é formada por 14{,}0 \% de partículas da classe 3/4, 50{,}0 \% da classe 4/6, etc. (peguei esses valores diretamente da tabela).
Observação importante para entender o que faremos: se chamarmos G, I e F as massas (em \% da alimentação) das frações grossos, intermediários e finos, então a massa de cada classe de tamanho na alimentação deve ser igual à soma das massas dessa classe presentes em cada produto. Isso gera equações lineares que vamos resolver para G, I e F. A base 100 facilita: G+I+F=100.

Passo 2

Modelo matemático e conceito (aula rápida e bem prática).
  • Vamos usar o balanço de massa por classe de tamanho. Para cada classe k (por exemplo 4/6), vale:
\text{alimentação na classe }k \;=\; G\cdot g_k + I\cdot i_k + F\cdot f_k,çã
onde g_k, i_k, f_k são as frações (em forma decimal) daquela classe dentro dos produtos grossos, intermediário e finos, respectivamente. Ex.: se a tabela diz que a fração grossos tem 50{,}0 \% da classe 4/6, então g_{4/6}=0{,}50.
  • Explicando devagar: G é a massa total da fração “grossos” (em \% da alimentação). Multiplicando por g_k obtemos a massa (em \% da alimentação) da classe k que está nos grossos. Somando as contribuições dos três produtos obtemos a massa da classe k que havia na alimentação — coerência de balanço.
  • Como temos muitas classes, obtemos muitas equações, mas só três incógnitas G,I,F. As equações são (uma por classe). Vamos escolher algumas equações convenientes para resolver com aritmética de prova.

Passo 3

Escolha de equações práticas (por que escolhi estas): prefiro usar classes em que uma coluna tenha zero em certo produto porque simplifica. Observando a tabela, as linhas 4/6, 6/8 e 8/10 são convenientes: nas duas primeiras as frações finas (F) aparecem com zero segundo a tabela (na 4/6 e 6/8 a coluna “Finos” é zero), então as duas primeiras equações envolvem apenas G e I; a terceira (8/10) inclui também F e nos permite obter o terceiro desconhecido ou verificar consistência. Escrevo as equações com os números da tabela (transformando percentuais de composição em decimais):
Para a classe 4/6 (alimentação 15{,}0):
15{,}0 = G\cdot 0{,}50 + I\cdot 0{,}042 + F\cdot 0.
Para a classe 6/8 (alimentação 27{,}5):
27{,}5 = G\cdot 0{,}24 + I\cdot 0{,}358 + F\cdot 0.
Para a classe 8/10 (alimentação 23{,}5):
23{,}5 = G\cdot 0{,}08 + I\cdot 0{,}308 + F\cdot 0{,}20.
Estas três equações serão suficientes para resolver G,I,F (lembrando que todos em \% da alimentação).

Passo 4

Resolver as duas primeiras equações para G e I (passo a passo de álgebra simples):
Da primeira equação:
15{,}0 = 0{,}50\,G + 0{,}042\,I
isola-se G:
0{,}50\,G = 15{,}0 - 0{,}042\,I \quad\Rightarrow\quad G = \frac{15{,}0 - 0{,}042\,I}{0{,}50} = 30 - 0{,}084\,I.
Substitui-se em a segunda equação:
27{,}5 = 0{,}24\,G + 0{,}358\,I = 0{,}24(30 - 0{,}084\,I) + 0{,}358\,I.
Fazendo as contas:
27{,}5 = 7{,}2 - 0{,}02016\,I + 0{,}358\,I = 7{,}2 + 0{,}33784\,I.
Isolando I:
0{,}33784\,I = 27{,}5 - 7{,}2 = 20{,}3 \quad\Rightarrow\quad I = \frac{20{,}3}{0{,}33784}.
Calculando (divisão aritmética):
I \approx 60{,}087655\\ (\%\\ \text{da alimentação}).çã
Agora G:
G = 30 - 0{,}084\cdot I \approx 30 - 0{,}084\cdot 60{,}087655 \approx 24{,}952632\\ (\%).
E F pela soma G+I+F=100:
F = 100 - G - I \approx 100 - 24{,}952632 - 60{,}087655 \approx 14{,}959713\\ (\%).
(Comentar rápido: usei aritmética com 6 casas decimais para manter precisão; em provas normalmente arredonda-se razoavelmente, por exemplo G\approx 24{,}95\%, I\approx 60{,}09\%, F\approx 14{,}96\%.)

Passo 5

Verificação rápida com outra linha (garantir coerência): uso a classe 10/14 (alimentação 16{,}0) que, pela tabela, tem composições g_{10/14}=0{,}04, i_{10/14}=0{,}183, f_{10/14}=0{,}267. Calculamos a contribuição RHS:
G\cdot 0{,}04 + I\cdot 0{,}183 + F\cdot 0{,}267
substituindo os G,I,F obtidos:
24{,}952632\cdot 0{,}04 + 60{,}087655\cdot 0{,}183 + 14{,}959713\cdot 0{,}267 \approx 0{,}998105 + 10{,}996 = 11{,}994105 + 4{,}005895 \approx 16{,}000.
O lado direito dá aproximadamente 16{,}0, que é precisamente a alimentação dessa classe — ótima consistência (pequenos arredondamentos compatíveis).
Portanto os valores G, I, F estão corretos (coerentes com a tabela).

Passo 6

Interpretação final das proporções pedidas (resumindo o resultado numérico): as massas das frações em relação à alimentação (base 100) são
G \approx 24{,}9526\%,\qquad I \approx 60{,}0877\%,\qquad F \approx 14{,}9597\%.
Na prática de prova você pode apresentar arredondando, por exemplo para uma casa decimal: G\approx 25{,}0\%, I\approx 60{,}1\%, F\approx 15{,}0\%.

Passo 7

Definição e cálculo da eficiência global da peneira \#8 (passo a passo didático).
  • O que a \#8 deveria reter? Todas as partículas mais grossas que não passam pela \#8; segundo a convenção da tabela, as classes maiores que \#8 são: 3/4, 4/6 e 6/8. A massa total dessas classes na alimentação é
\text{coarse\_total} = 3{,}5 + 15{,}0 + 27{,}5 = 46{,}0\\ (\% \text{ da alimentação}).çã
  • A massa dessas partículas que efetivamente ficou na fração “Grossos” é a soma, dentro de G, das parcelas correspondentes a essas classes. Como a coluna “Grossos” tem 14{,}0\%, 50{,}0\% e 24{,}0\% nessas três classes, a fração dessas três classes dentro de “Grossos” é 0{,}14+0{,}50+0{,}24=0{,}88. Então a massa de partículas mais grossas retida em grossos é
\text{coarse\_retained} = G\cdot 0{,}88 \approx 24{,}952632\cdot 0{,}88 \approx 21{,}9583\\ (\% \text{ da alimentação}).çã
  • A eficiência global da \#8 definimos aqui como a fração das partículas mais grossas que foram efetivamente retidas por ela:
\eta_{\#8} = \frac{\text{coarse\_retained}}{\text{coarse\_total}} \approx \frac{21{,}9583}{46{,}0} \approx 0{,}47736 \approx 47{,}74\%.
Explicando em palavras: de todos os 46{,}0\% de material que eram maiores que a abertura da \#8, apenas cerca de 21{,}96\% da alimentação (ou seja 47{,}7\% desses materiais) terminou na fração grossos — a \#8 reteve perto de 47{,}7\% do que deveria.

Passo 8

Definição e cálculo da eficiência global da peneira \#14.
  • A \#14 deveria reter as classes entre \#8 e \#14, ou seja as classes 8/10 e 10/14. A massa dessas classes na alimentação é
\text{intermediate\_total} = 23{,}5 + 16{,}0 = 39{,}5\\ (\% \text{ da alimentação}).çã
Obs.: essas duas classes necessariamente passam pela \#8 (por serem mais finas que a abertura da \#8) e chegam à \#14.
  • A massa dessas classes que realmente aparece na fração “Intermediário” é a soma, dentro de I, das parcelas correspondentes a 8/10 e 10/14. Pela tabela a coluna “Intermediário” tem 30{,}8\% e 18{,}3\% nessas duas classes, soma 0{,}308+0{,}183=0{,}491. Assim:
\text{intermediate\_retained} = I\cdot 0{,}491 \approx 60{,}087655\cdot 0{,}491 \approx 29{,}5030\\ (\% \text{ da alimentação}).çã
  • A eficiência global da \#14 é:
\eta_{\#14} = \frac{\text{intermediate\_retained}}{\text{intermediate\_total}} \approx \frac{29{,}5030}{39{,}5} \approx 0{,}74703 \approx 74{,}70\%.
Interpretação: de todos os 39{,}5\% de material que deveriam ser retidos pela \#14, a peneira reteve o equivalente a 29{,}50\% da alimentação, ou cerca de 74{,}7\% do que passou por ela — isto é a eficiência global da \#14.

Resposta

G \approx 24{,}9526\% (fração grossos em relação à alimentação)
I \approx 60{,}0877\% (fração intermediária em relação à alimentação)
F \approx 14{,}9597\% (fração finos em relação à alimentação)
\eta_{\#8} \approx 47{,}74\% (eficiência global da peneira \#8)
\eta_{\#14} \approx 74{,}70\% (eficiência global da peneira \#14)

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