Deseja-se separar uma mistura de cristais em 3 frações: uma fração de grossos, retida na peneira
, uma intermediária, que passa na peneira
mas fica retida na #14, e uma fração de finos, que passa na peneira #14. São usadas duas peneiras de padrão Tyler, de 8 e 14 mesh, em série. A análise granulométrica é dada na tabela abaixo.
Table 1: Tabela 1 - Análise granulométrica\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh Tyler
Alimentação
Frações obtidas
Grossos
Intermediário
Finos
3 / 4
3,5
14,0
-
-
4 / 6
15,0
50,0
4,2
-
6 / 8
27,5
24,0
35,8
-
8 /10
23,5
8,0
30,8
20,0
10/14
16,0
4,0
18,3
26,7
14/20
9,1
-
10,2
20,2
20/28
3,4
-
0,7
19,6
28/35
1,3
-
-
8,9
35/48
0,7
-
-
4,6
Total
100,0
100,0
100,0
100,0
a) Considerando que as análises são precisas, qual a proporção (de grossos, intermediários e finos) realmente obtida em cada uma das frações em relação à alimentação? (dica: assuma uma base de calculo para a alimentação)
b) Qual a eficiência global de cada peneira?
Table 1: Tabela 1 - Análise granulométrica
\captionsetup{labelformat=empty}
| Mesh Tyler | Alimentação | Frações obtidas | ||
| Grossos | Intermediário | Finos | ||
| 3 / 4 | 3,5 | 14,0 | - | - |
| 4 / 6 | 15,0 | 50,0 | 4,2 | - |
| 6 / 8 | 27,5 | 24,0 | 35,8 | - |
| 8 /10 | 23,5 | 8,0 | 30,8 | 20,0 |
| 10/14 | 16,0 | 4,0 | 18,3 | 26,7 |
| 14/20 | 9,1 | - | 10,2 | 20,2 |
| 20/28 | 3,4 | - | 0,7 | 19,6 |
| 28/35 | 1,3 | - | - | 8,9 |
| 35/48 | 0,7 | - | - | 4,6 |
| Total | 100,0 | 100,0 | 100,0 | 100,0 |
b) Qual a eficiência global de cada peneira?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- a) A proporção (em relação à alimentação) que aparece nas três frações finais: grossos (retidos na peneira
), intermediários (passam na e ficam retidos na ) e finos (passam na ). - b) A eficiência global de cada peneira (
e ).
Informações relevantes (peguei os números da tabela fornecida):
- Composição da alimentação por classes de malha (vou usar uma base de cálculo de
unidades de massa na alimentação):
3/4: , 4/6: , 6/8: , 8/10: , 10/14: , 14/20: , 20/28: , 28/35: , 35/48: . Total . - Composição interna de cada fração (colunas “Grossos”, “Intermediário”, “Finos” na tabela): cada coluna soma
, isto é: por exemplo, a fração “Grossos” é formada por de partículas da classe 3/4, da classe 4/6, etc. (peguei esses valores diretamente da tabela).
Observação importante para entender o que faremos: se chamarmos
,
e
as massas (em
da alimentação) das frações grossos, intermediários e finos, então a massa de cada classe de tamanho na alimentação deve ser igual à soma das massas dessa classe presentes em cada produto. Isso gera equações lineares que vamos resolver para
,
e
. A base
facilita:
.
Passo 2
Modelo matemático e conceito (aula rápida e bem prática).
- Vamos usar o balanço de massa por classe de tamanho. Para cada classe
(por exemplo 4/6), vale:
onde
,
,
são as frações (em forma decimal) daquela classe dentro dos produtos grossos, intermediário e finos, respectivamente. Ex.: se a tabela diz que a fração grossos tem
da classe 4/6, então
.
- Explicando devagar:
é a massa total da fração “grossos” (em da alimentação). Multiplicando por obtemos a massa (em da alimentação) da classe que está nos grossos. Somando as contribuições dos três produtos obtemos a massa da classe que havia na alimentação — coerência de balanço. - Como temos muitas classes, obtemos muitas equações, mas só três incógnitas
. As equações são (uma por classe). Vamos escolher algumas equações convenientes para resolver com aritmética de prova.
Passo 3
Escolha de equações práticas (por que escolhi estas): prefiro usar classes em que uma coluna tenha zero em certo produto porque simplifica. Observando a tabela, as linhas 4/6, 6/8 e 8/10 são convenientes: nas duas primeiras as frações finas (F) aparecem com zero segundo a tabela (na 4/6 e 6/8 a coluna “Finos” é zero), então as duas primeiras equações envolvem apenas
e
; a terceira (8/10) inclui também
e nos permite obter o terceiro desconhecido ou verificar consistência. Escrevo as equações com os números da tabela (transformando percentuais de composição em decimais):
Para a classe 4/6 (alimentação
):
Para a classe 6/8 (alimentação
):
Para a classe 8/10 (alimentação
):
Estas três equações serão suficientes para resolver
(lembrando que todos em
da alimentação).
Passo 4
Resolver as duas primeiras equações para
e
(passo a passo de álgebra simples):
Da primeira equação:
Da primeira equação:
isola-se
:
Substitui-se em a segunda equação:
Fazendo as contas:
Isolando
:
Calculando (divisão aritmética):
Agora
:
E
pela soma
:
(Comentar rápido: usei aritmética com 6 casas decimais para manter precisão; em provas normalmente arredonda-se razoavelmente, por exemplo
,
,
.)
Passo 5
Verificação rápida com outra linha (garantir coerência): uso a classe 10/14 (alimentação
) que, pela tabela, tem composições
,
,
. Calculamos a contribuição RHS:
substituindo os
obtidos:
O lado direito dá aproximadamente
, que é precisamente a alimentação dessa classe — ótima consistência (pequenos arredondamentos compatíveis).
Portanto os valores
,
,
estão corretos (coerentes com a tabela).
Passo 6
Interpretação final das proporções pedidas (resumindo o resultado numérico): as massas das frações em relação à alimentação (base 100) são
Na prática de prova você pode apresentar arredondando, por exemplo para uma casa decimal:
,
,
.
Passo 7
Definição e cálculo da eficiência global da peneira
(passo a passo didático).
- O que a
deveria reter? Todas as partículas mais grossas que não passam pela ; segundo a convenção da tabela, as classes maiores que são: 3/4, 4/6 e 6/8. A massa total dessas classes na alimentação é
- A massa dessas partículas que efetivamente ficou na fração “Grossos” é a soma, dentro de
, das parcelas correspondentes a essas classes. Como a coluna “Grossos” tem , e nessas três classes, a fração dessas três classes dentro de “Grossos” é . Então a massa de partículas mais grossas retida em grossos é
- A eficiência global da
definimos aqui como a fração das partículas mais grossas que foram efetivamente retidas por ela:
Explicando em palavras: de todos os
de material que eram maiores que a abertura da
, apenas cerca de
da alimentação (ou seja
desses materiais) terminou na fração grossos — a
reteve perto de
do que deveria.
Passo 8
Definição e cálculo da eficiência global da peneira
.
- A
deveria reter as classes entre e , ou seja as classes 8/10 e 10/14. A massa dessas classes na alimentação é
Obs.: essas duas classes necessariamente passam pela
(por serem mais finas que a abertura da
) e chegam à
.
- A massa dessas classes que realmente aparece na fração “Intermediário” é a soma, dentro de
, das parcelas correspondentes a 8/10 e 10/14. Pela tabela a coluna “Intermediário” tem e nessas duas classes, soma . Assim:
- A eficiência global da
é:
Interpretação: de todos os
de material que deveriam ser retidos pela
, a peneira reteve o equivalente a
da alimentação, ou cerca de
do que passou por ela — isto é a eficiência global da
.