Com base na equação de Legendre, escreva explicitamente:
(a) y^{\prime}(x)
(b) y^{\prime \prime}(x)
Na forma:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
para a equação de Legendre: \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\ell(\ell+1) y=0

Passo 1

O enunciado dá a série de potencia
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
e pede explicitamente as derivadas (a) y'(x) e (b) y''(x), escritas de forma adequada para usar na equação de Legendre
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\ell(\ell+1) y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é centrada em x=0 e os coeficientes são \{a_n\}_{n\ge0}.
  • Quer-se as expressões de y' e y'' como somatórios de potências de x (preferivelmente com todas as somas começando em n=0, que é o formato mais útil para substituição em equações diferenciais).

Passo 2

Breve justificativa e regra que vamos usar.
  • Para uma série de potências com raio de convergência R>0, é permitido diferenciar termo a termo dentro do intervalo de convergência (|x|<R). Isso significa que podemos aplicar a derivada em cada termo a_n x^n separadamente.
  • Regra de derivação de potências: a derivada de x^n em relação a x é n x^{n-1}. Para a segunda derivada, aplicamos a regra duas vezes: \dfrac{d}{dx}(n x^{n-1})=n(n-1)x^{n-2}.
  • Iremos primeiro escrever as derivadas nas formas naturais (com expoente x^{n-1} ou x^{n-2}) e depois reindexar as somas para obter potências x^n começando em n=0, que é a forma padrão para inserir na equação.

Passo 3

Cálculo de y'(x) termo a termo e reindexação.
  • Derivando termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\, n x^{n-1}.
  • Observação: o termo com n=0 é zero porque 0\cdot a_0 x^{-1}=0. Assim, a soma pode ser escrita começando em n=1:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}.
  • Reindexar para escrever como soma em potências x^{n} com índice começando em n=0. Façamos a mudança m=n-1, logo n=m+1. Substituindo e renomeando m para n:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n}.
  • Conclusão: temos duas formas equivalentes úteis:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n}.

Passo 4

Cálculo de y''(x) termo a termo e reindexação.
  • Aplicando a derivada novamente (ou diretamente a fórmula da segunda derivada de x^n):
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\, n(n-1) x^{n-2}.
  • Novamente, os termos com n=0 e n=1 são nulos porque contêm o fator n(n-1). Assim podemos iniciar a soma em n=2:
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.
  • Reindexar para potências x^{n} começando em n=0. Façamos a mudança m=n-2, então n=m+2. Substituindo e renomeando m para n:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
  • Conclusão: formas equivalentes:
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.

Passo 5

Dica final de uso (rápida, para a prova).
  • As formas reindexadas
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n},\qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}
são as mais práticas para substituir diretamente na equação de Legendre porque todas as somas usam a mesma potência x^{n} e começam em n=0. Depois de substituir, basta igualar coeficientes de x^{n} para obter a relação de recorrência entre os a_n.

Resposta

y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n}
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}

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