Com base na equação de Legendre, escreva explicitamente:
(a)
(b)
Na forma:
para a equação de Legendre:
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a série de potencia
e pede explicitamente as derivadas (a)
e (b)
, escritas de forma adequada para usar na equação de Legendre
Informações relevantes fornecidas:
- A série é centrada em
e os coeficientes são . - Quer-se as expressões de
e como somatórios de potências de (preferivelmente com todas as somas começando em , que é o formato mais útil para substituição em equações diferenciais).
Passo 2
Breve justificativa e regra que vamos usar.
- Para uma série de potências com raio de convergência
, é permitido diferenciar termo a termo dentro do intervalo de convergência . Isso significa que podemos aplicar a derivada em cada termo separadamente. - Regra de derivação de potências: a derivada de
em relação a é . Para a segunda derivada, aplicamos a regra duas vezes: . - Iremos primeiro escrever as derivadas nas formas naturais (com expoente
ou ) e depois reindexar as somas para obter potências começando em , que é a forma padrão para inserir na equação.
Passo 3
Cálculo de
termo a termo e reindexação.
- Derivando termo a termo:
- Observação: o termo com
é zero porque . Assim, a soma pode ser escrita começando em :
- Reindexar para escrever como soma em potências
com índice começando em . Façamos a mudança , logo . Substituindo e renomeando para :
- Conclusão: temos duas formas equivalentes úteis:
Passo 4
Cálculo de
termo a termo e reindexação.
- Aplicando a derivada novamente (ou diretamente a fórmula da segunda derivada de
):
- Novamente, os termos com
e são nulos porque contêm o fator . Assim podemos iniciar a soma em :
- Reindexar para potências
começando em . Façamos a mudança , então . Substituindo e renomeando para :
- Conclusão: formas equivalentes:
Passo 5
Dica final de uso (rápida, para a prova).
- As formas reindexadas
são as mais práticas para substituir diretamente na equação de Legendre porque todas as somas usam a mesma potência
e começam em
. Depois de substituir, basta igualar coeficientes de
para obter a relação de recorrência entre os
.