Uma bola de neve de
é lançada de um penhasco de
de altura. A velocidade inicial da bola de neve é
acima da horizontal. (a) Qual é o trabalho realizado sobre a bola de neve pela força gravitacional durante o percurso até um terreno plano, abaixo do penhasco? (b) Qual é a variação da energia potencial do sistema bola de neve-Terra durante o percurso? (c) Se a energia potencial gravitacional é tomada como nula na altura do penhasco, qual é o seu valor quando a bola de neve chega ao solo? d) Determine a velocidade da bola de neve ao chegar ao solo.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (não vou resolver aqui, só listar o que está dado e as perguntas):
- Dados (pegos do enunciado):
- massa da bola de neve:
. - altura do penhasco acima do solo:
. - velocidade inicial:
, com ângulo acima da horizontal.
- massa da bola de neve:
- Perguntas:
(a) Qual é o trabalho realizado sobre a bola de neve pela força gravitacional durante o percurso até o solo?
(b) Qual é a variação da energia potencial do sistema bola de neve–Terra durante o percurso?
(c) Se a energia potencial gravitacional é tomada como nula na altura do penhasco, qual é o seu valor quando a bola de neve chega ao solo?
(d) Determine a velocidade da bola de neve ao chegar ao solo.
Passo 2
Entendendo o trabalho da força gravitacional (aula curtinha): a força gravitacional próxima da superfície da Terra é praticamente constante e vertical para baixo e vale
. Para uma força constante a fórmula do trabalho entre duas posições é o produto escalar da força pela deslocamento,
Se tomarmos a coordenada vertical
positiva para cima, o trabalho da gravidade entre a posição inicial
e final
é
Essa forma é prática: se o objeto desce (
) então
é negativo e
fica positivo (a gravidade faz trabalho positivo quando puxa para baixo).
Passo 3
Aplicando a fórmula do trabalho ao nosso caso (a bola desce do penhasco até o solo): tomar
e
. Então
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculo
:
Em seguida
Arredondando para três algarismos significativos (coerente com os dados), obtemos
Passo 4
Agora a energia potencial gravitacional (conceito): para campo gravitacional uniforme perto da Terra define-se
onde
é a altura medida a partir da referência escolhida. A variação de energia potencial ao ir de
para
é
No nosso caso
e
, então
Interpretação prática: a energia potencial do sistema diminuiu (sinal negativo) porque a bola desceu.
Passo 5
Resposta da letra (c) (explicando passo a passo): se a energia potencial for tomada como nula na altura do penhasco, então
. Como a variação
, segue que
Ou seja, com essa escolha de referência a energia potencial ao chegar ao solo é negativa.
Passo 6
Determinar a velocidade ao chegar ao solo (letra d). Método e ideia: usar o teorema da energia (conservação da energia mecânica na ausência de forças dissipativas). Em palavras: a energia mecânica total
se conserva se não há atrito nem resistência do ar. Assim
Aqui
. Para facilitar, vou usar a escolha da letra (c) onde
; com isso
. Então
Outra forma equivalente é usar o fato de que a variação da energia cinética
é igual ao trabalho da gravidade:
.
Calcule
:
Fazendo as contas:
logo
Usando
:
Agora a velocidade final
satisfaz
Substituindo números:
Observação prática e útil para prova: a velocidade final não depende do ângulo de lançamento nem do caminho, apenas da energia inicial (velocidade inicial) e da diferença de altura, desde que não haja perda por atrito.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)