Uma bola de neve de 1,50 \mathrm{~kg} é lançada de um penhasco de 12,5 \mathrm{~m} de altura. A velocidade inicial da bola de neve é 14,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 41,0^{\circ} acima da horizontal. (a) Qual é o trabalho realizado sobre a bola de neve pela força gravitacional durante o percurso até um terreno plano, abaixo do penhasco? (b) Qual é a variação da energia potencial do sistema bola de neve-Terra durante o percurso? (c) Se a energia potencial gravitacional é tomada como nula na altura do penhasco, qual é o seu valor quando a bola de neve chega ao solo? d) Determine a velocidade da bola de neve ao chegar ao solo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (não vou resolver aqui, só listar o que está dado e as perguntas):
  • Dados (pegos do enunciado):
    • massa da bola de neve: m=1{,}50\\ \mathrm{kg}.
    • altura do penhasco acima do solo: h=12{,}5\\ \mathrm{m}.
    • velocidade inicial: v_0=14{,}0\\ \mathrm{m/s}, com ângulo 41{,}0^\circ acima da horizontal.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o trabalho realizado sobre a bola de neve pela força gravitacional durante o percurso até o solo?
    (b) Qual é a variação da energia potencial do sistema bola de neve–Terra durante o percurso?
    (c) Se a energia potencial gravitacional é tomada como nula na altura do penhasco, qual é o seu valor quando a bola de neve chega ao solo?
    (d) Determine a velocidade da bola de neve ao chegar ao solo.

Passo 2

Entendendo o trabalho da força gravitacional (aula curtinha): a força gravitacional próxima da superfície da Terra é praticamente constante e vertical para baixo e vale \vec{F}_g=(0,-mg). Para uma força constante a fórmula do trabalho entre duas posições é o produto escalar da força pela deslocamento,
W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.
Se tomarmos a coordenada vertical y positiva para cima, o trabalho da gravidade entre a posição inicial y_i e final y_f é
W_g = -mg\,(y_f-y_i).
Essa forma é prática: se o objeto desce ( y_f<y_i) então y_f-y_i é negativo e W_g fica positivo (a gravidade faz trabalho positivo quando puxa para baixo).

Passo 3

Aplicando a fórmula do trabalho ao nosso caso (a bola desce do penhasco até o solo): tomar y_i=h=12{,}5\\ \mathrm{m} e y_f=0. Então
W_g = -m g (0 - h) = m g h.
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculo m g:
m g = 1{,}50\cdot 9{,}80 = 14{,}7\\ \mathrm{N}.
Em seguida
W_g = 14{,}7\cdot 12{,}5 = 183{,}75\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos (coerente com os dados), obtemos
W_g \approx 184\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora a energia potencial gravitacional (conceito): para campo gravitacional uniforme perto da Terra define-se
U(y)=m g y,
onde y é a altura medida a partir da referência escolhida. A variação de energia potencial ao ir de y_i para y_f é
\Delta U = U_f-U_i = m g (y_f-y_i).
No nosso caso y_i=h=12{,}5\\ \mathrm{m} e y_f=0, então
\Delta U = m g (0 - h) = -m g h = -183{,}75\\ \mathrm{J}\approx -184\\ \mathrm{J}.
Interpretação prática: a energia potencial do sistema diminuiu (sinal negativo) porque a bola desceu.

Passo 5

Resposta da letra (c) (explicando passo a passo): se a energia potencial for tomada como nula na altura do penhasco, então U_i=0. Como a variação \Delta U = U_f-U_i = -183{,}75\\ \mathrm{J}, segue que
U_f = U_i + \Delta U = 0 + (-183{,}75\\ \mathrm{J}) = -183{,}75\\ \mathrm{J}\approx -184\\ \mathrm{J}.
Ou seja, com essa escolha de referência a energia potencial ao chegar ao solo é negativa.

Passo 6

Determinar a velocidade ao chegar ao solo (letra d). Método e ideia: usar o teorema da energia (conservação da energia mecânica na ausência de forças dissipativas). Em palavras: a energia mecânica total E=K+U se conserva se não há atrito nem resistência do ar. Assim
K_i+U_i=K_f+U_f.
Aqui K=\tfrac{1}{2}mv^2. Para facilitar, vou usar a escolha da letra (c) onde U_i=0; com isso U_f=-m g h. Então
K_f = K_i + U_i - U_f = K_i - U_f = K_i + m g h.
Outra forma equivalente é usar o fato de que a variação da energia cinética \Delta K é igual ao trabalho da gravidade: \Delta K=W_g.
Calcule K_i:
K_i = \tfrac{1}{2} m v_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}50\cdot (14{,}0)^2.
Fazendo as contas:
(14{,}0)^2 = 196,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}50 = 0{,}75,
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K_i = 0{,}75\cdot 196 = 147{,}0\\ \mathrm{J}.
Usando K_f = K_i + m g h:
K_f = 147{,}0 + 183{,}75 = 330{,}75\\ \mathrm{J}.
Agora a velocidade final v_f satisfaz
\tfrac{1}{2} m v_f^2 = K_f \quad\Rightarrow\quad v_f = \sqrt{\dfrac{2K_f}{m}}.
Substituindo números:
v_f = \sqrt{\dfrac{2\cdot 330{,}75}{1{,}50}} = \sqrt{\dfrac{661{,}5}{1{,}50}} = \sqrt{441} = 21{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Observação prática e útil para prova: a velocidade final não depende do ângulo de lançamento nem do caminho, apenas da energia inicial (velocidade inicial) e da diferença de altura, desde que não haja perda por atrito.

Resposta

(a) 184\\ \mathrm{J}
(b) -184\\ \mathrm{J}
(c) -184\\ \mathrm{J}
(d) 21{,}0\\ \mathrm{m/s}

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