Cn 2 Suponha que 1,80 \mathrm{~mol} de um gás ideal seja comprimido isotermicamente a 30{ }^{\circ} \mathrm{C} de um volume inicial igual a 3,50 \mathrm{~m}^{3} para um volume final igual a 2,30 \mathrm{~m}^{3}. Calcule a quantidade de calor transferida durante a compressão. O calor foi absorvido ou cedido pelo gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados:
    • número de mols: n=1{,}80\\ \text{mol}.
    • temperatura: 30^\circ\mathrm{C}.
    • volume inicial: V_i=3{,}50\\ \text{m}^3.
    • volume final: V_f=2{,}30\\ \text{m}^3.
  • O que é pedido:
    1. Calcular a quantidade de calor Q transferida durante a compressão isotérmica.
    2. Dizer se o calor foi absorvido pelo gás ou cedido pelo gás.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (explicação didática e cuidadosa).
  • Primeira lei da termodinâmica (forma que vamos usar):
    \Delta U = Q - W,
    onde:
    • \Delta U é a variação da energia interna do gás,
    • Q é o calor trocado com o meio (positivo se recebido pelo sistema),
    • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o meio (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
  • Para um gás ideal monoatômico ou não, a energia interna depende apenas da temperatura: \Delta U é função apenas de T. Portanto, em um processo isotérmico (temperatura constante) temos
    \Delta U = 0.
    Substituindo na primeira lei:
    0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
    Ou seja: em uma compressão isotérmica reversível o calor trocado é igual ao trabalho realizado pelo gás (note o sinal: se o trabalho pelo gás for negativo, Q também será negativo).

Passo 3

Expressão do trabalho em uma transformação isotérmica reversível.
  • Pressão do gás ideal em qualquer instante vale \;P=\dfrac{nRT}{V}\;, onde:
    • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta em kelvin,
    • V é o volume instantâneo.
  • O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de V_i para V_f é
    W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.
    Como n, R e T são constantes (transformação isotérmica), a integral é
    W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
    Lembre: \ln é o logaritmo natural. Aqui W é o trabalho feito pelo gás; se V_f<V_i (compressão), o argumento do logaritmo é menor que 1 e \ln será negativo.

Passo 4

Aplicando os valores numéricos passo a passo (mostrando contas detalhadas).
  • Converter a temperatura para kelvin:
    T = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \text{K}.
  • Constante dos gases:
    R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Calcular o fator nRT:
    nRT = 1{,}80 \times 8{,}314 \times 303{,}15.
    Primeiro 8{,}314\times303{,}15 \approx 2520{,}53.
    Depois 1{,}80\times2520{,}53 \approx 4536{,}95.
    Logo
    nRT \approx 4536{,}95\\ \mathrm{J}.
  • Calcular o logaritmo natural da razão dos volumes:
    \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln\!\left(\frac{2{,}30}{3{,}50}\right)=\ln(0{,}657142857\ldots)\approx -0{,}420223.
  • Agora o trabalho (e, pelo passo 2, o calor Q):
    Q = W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\approx 4536{,}95\times(-0{,}420223).
    Fazendo a multiplicação:
    Q \approx -1906\\ \mathrm{J}.
    Em unidades mais convenientes:
    Q \approx -1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação física final (sinal e significado).
  • O resultado deu Q<0. Lembrando a convenção de sinais: Q>0 significa calor recebido (absorvido) pelo gás; Q<0 significa calor cedido pelo gás ao ambiente.
  • Como Q é negativo, o gás cedeu calor ao ambiente durante a compressão isotérmica. Isso faz sentido intuitivo: ao comprimir o gás isotermicamente, o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna, mas como a temperatura é mantida constante, esse excesso de energia sai na forma de calor para o meio.

Resposta

-1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{J}
O calor foi cedido pelo gás.

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