Com base ao estudo de construção de gráficos, a função y=x^44+x^33-3 x^2+2 encontrar:
b) Intervalos onde a função e crescente e decrescente. (0,67ptos)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função y=x^44+x^33-3x^2+2. O conteúdo abordado é crescimento e decrescimento de funções via derivadas. Precisamos calcular a derivada da função e analisar o seu sinal.

Passo 2

Calcular a derivada de y:
y' = ddxl(x^44r) + ddxl(x^33r) - ddx(3x^2) + ddx(2) = x^3 + x^2 -6x

Passo 3

Fatorar y' para encontrar os pontos críticos:
y' = x^3 + x^2 -6x = x(x^2 + x -6) = x(x+3)(x-2)
Dessa forma, os zeros de y' são x=-3, x=0 e x=2.

Passo 4

Montar o quadro de sinais de y' em cada intervalo determinado pelos zeros:
  • Em ((-
    \infty, -3)): todos os fatores x, x+3, x-2 são negativos, então y'<0 → função decrescente.
  • Em (-3,0): x<0, x+3>0, x-2<0 → dois fatores negativos e um positivo → y'>0 → crescente.
  • Em (0,2): x>0, x+3>0, x-2<0 → um fator negativo → y'<0 → decrescente.
  • Em (2,infty): todos os fatores positivos → y'>0 → crescente.

Resposta

A função é crescente em (-3,0) e (2,infty), e decrescente em ((-
\infty,-3)) e (0,2).

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