Determine o real x de modo que o complexo z=(13 i-6)+(2 x+i) cdot(3-2 x i) seja real

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um número complexo $ z = (13i - 6) + (2x + i) \cdot (3 - 2xi) $ e precisa encontrar o valor real de $ x $ que faz esse número $ z $ ser um número real, ou seja, sem parte imaginária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma algébrica deles e como somar e multiplicar. Vamos precisar separar as partes real e imaginária e igualar a parte imaginária a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os termos dentro dos parênteses: $ (2x + i) \cdot (3 - 2xi) $. Para multiplicar dois números complexos, a gente distribui cada termo:
(2x + i) cdot (3 - 2xi)
Simplificando cada parte:
(2x + i)(3 - 2xi) = 2x cdot 3 + 2x cdot (-2xi) + i cdot 3 + i cdot (-2xi)

Passo 3

Lembrando que $ i^2 = -1 $, então $ -2xi^2 = -2x(-1) = 2x $. Agora, juntamos tudo:
i^2 = -1

Passo 4

Agora, voltamos ao $ z $:
z
Juntando as partes real e imaginária:
z = (13i - 6) + (8x + (-4x^2 + 3)i) = (-6 + 8x) + (13i + (-4x^2 + 3)i)

Passo 5

Para $ z $ ser real, a parte imaginária deve ser igual a zero:
z
Resolvendo para $ x $:
16 - 4x^2 = 0

Resposta

Os valores reais de $ x $ que fazem $ z $ ser real são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Exercícios relacionados