Determine o real x de modo que o complexo
seja real
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um número complexo $ z = (13i - 6) + (2x + i) \cdot (3 - 2xi) $ e precisa encontrar o valor real de $ x $ que faz esse número $ z $ ser um número real, ou seja, sem parte imaginária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma algébrica deles e como somar e multiplicar. Vamos precisar separar as partes real e imaginária e igualar a parte imaginária a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os termos dentro dos parênteses: $ (2x + i) \cdot (3 - 2xi) $. Para multiplicar dois números complexos, a gente distribui cada termo:
Simplificando cada parte:
Passo 3
Lembrando que $ i^2 = -1 $, então $ -2xi^2 = -2x(-1) = 2x $. Agora, juntamos tudo:
Passo 4
Agora, voltamos ao $ z $:
Juntando as partes real e imaginária:
Passo 5
Para $ z $ ser real, a parte imaginária deve ser igual a zero:
Resolvendo para $ x $:
Resposta
Os valores reais de $ x $ que fazem $ z $ ser real são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.