Com base no exercício anterior represente no plano os números complexos que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo:
|z-3+4 i|<3;

Passo 1

O enunciado pede que eu represente no plano complexos os números z que satisfazem a desigualdade |z-3+4i|<3.\n
Informações dadas:
  • A desigualdade é |z-3+4i|<3.
  • Não há mais restrições além dessa desigualdade.
  • Preciso interpretar geometricamente no plano complexo o conjunto de todos os z que atendem essa condição.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever z em coordenadas reais. Vou usar a forma padrão
z = x + i y,
onde x é a parte real e y a parte imaginária de z. Isso me permite transformar a desigualdade com módulo em uma desigualdade em x e y, que é mais fácil de visualizar no plano.

Passo 3

Agora substituo z=x+iy na expressão |z-3+4i|. Faço a conta dentro do módulo:
z-3+4i = (x+iy)-3+4i = (x-3)+i(y+4).
Explico: se eu subtraio o número complexo 3-4i de z (note que z-(3-4i)=z-3+4i), o resultado tem parte real x-3 e parte imaginária y+4.

Passo 4

Recordando a definição do módulo de um número complexo: para w=a+ib temos
|w|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
que é a distância euclidiana do ponto (a,b) à origem. Aplicando isso a w=(x-3)+i(y+4) obtemos
|z-3+4i|=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}.
Portanto a desigualdade |z-3+4i|<3 vira
\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}<3.

Passo 5

Eliminar a raiz quadrada (sempre que ambos os lados são não-negativos) e elevar ao quadrado dá a forma mais familiar:
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}<9.
Isto é a equação de um disco aberto (círculo sem a fronteira) no plano (x,y): o conjunto de pontos cuja distância ao ponto (3,-4) é menor que 3. Especificamente:
  • Centro do disco: (3,-4) — isto veio de comparar com (x-a)^{2}+(y-b)^{2}.
  • Raio: 3 — porque 9=3^{2}.
    Como a desigualdade é estrita <, a circunferência de raio 3 em torno de (3,-4) não faz parte do conjunto; apenas os pontos estritamente interiores.

Passo 6

Para desenhar no plano complexo (e o que anotar na prova):
  • Marque o ponto (3,-4) como o centro.
  • Desenhe um círculo de raio 3 em torno desse ponto.
  • Sombreie a região interna ao círculo (mas deixe a fronteira sem marcação ou com linha tracejada), porque é um disco aberto.
    Vou dar dois exemplos rápidos para verificação:
  • Ponto z=3-4i (ou seja x=3,y=-4) tem |z-3+4i|=0<3, logo está dentro.
  • Ponto z=6-4i (ou seja x=6,y=-4) tem |z-3+4i|=3, está na fronteira e não pertence ao conjunto porque a desigualdade é estrita.
  • Ponto z=7-4i tem |z-3+4i|=4>3, está fora.

Resposta

\{\,x+iy\in\mathbb{C}\mid (x-3)^{2}+(y+4)^{2}<9\,\}

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