Com base no exercício anterior represente no plano os números complexos que satisfazem cada uma das desigualdades abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede que eu represente no plano complexos os números
que satisfazem a desigualdade
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A desigualdade é
. - Não há mais restrições além dessa desigualdade.
- Preciso interpretar geometricamente no plano complexo o conjunto de todos os
que atendem essa condição.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever
em coordenadas reais. Vou usar a forma padrão
onde
é a parte real e
a parte imaginária de
. Isso me permite transformar a desigualdade com módulo em uma desigualdade em
e
, que é mais fácil de visualizar no plano.
Passo 3
Agora substituo
na expressão
. Faço a conta dentro do módulo:
Explico: se eu subtraio o número complexo
de
(note que
), o resultado tem parte real
e parte imaginária
.
Passo 4
Recordando a definição do módulo de um número complexo: para
temos
que é a distância euclidiana do ponto
à origem. Aplicando isso a
obtemos
Portanto a desigualdade
vira
Passo 5
Eliminar a raiz quadrada (sempre que ambos os lados são não-negativos) e elevar ao quadrado dá a forma mais familiar:
Isto é a equação de um disco aberto (círculo sem a fronteira) no plano
: o conjunto de pontos cuja distância ao ponto
é menor que
. Especificamente:
- Centro do disco:
— isto veio de comparar com . - Raio:
— porque .
Como a desigualdade é estrita, a circunferência de raio em torno de não faz parte do conjunto; apenas os pontos estritamente interiores.
Passo 6
Para desenhar no plano complexo (e o que anotar na prova):
- Marque o ponto
como o centro. - Desenhe um círculo de raio
em torno desse ponto. - Sombreie a região interna ao círculo (mas deixe a fronteira sem marcação ou com linha tracejada), porque é um disco aberto.
Vou dar dois exemplos rápidos para verificação: - Ponto
(ou seja ) tem , logo está dentro. - Ponto
(ou seja ) tem , está na fronteira e não pertence ao conjunto porque a desigualdade é estrita. - Ponto
tem , está fora.