O enunciado pede para resolver a equação \,x^{2} = -1 + i\,.
Informações dadas: o desconhecido x é um número complexo e o lado direito é o número complexo -1 + i.
Objetivo: encontrar todos os números complexos x tais que \,x^{2} = -1 + i.
Passo 2
Vou usar um método algébrico elementar: escrever x na forma x = a + bi, com a,b números reais, e comparar parte real e parte imaginária. Esse método não exige conhecimentos de formas polares e funciona bem para fazer passo a passo na prova.
Passo 3
Escrevendo x = a + bi e elevando ao quadrado temos:
(a+bi)^2 = a^2 + 2ab\,i + (bi)^2.
Como i^2 = -1, então (bi)^2 = -b^2. Portanto
(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2ab\,i.
Passo 4
Como queremos (a+bi)^2 = -1 + i, igualamos as partes real e imaginária:
O sinal de b deve ser o mesmo de a, porque b = 1/(2a) e 1 é positivo. Portanto as soluções aparecem com sinais combinados.
Passo 10
Junto as informações: as duas soluções são
x = +\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \;+\; i\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\right)
e
x = -\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \;+\; i\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\right).
Uma verificação rápida: para a primeira solução temos a^2 - b^2 = \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}+1}{2} = -1 e 2ab = 1, então o quadrado dá -1+i. A segunda é simplesmente o negativo da primeira (os dois sinais mudam), e ( -z )^2 = z^2, então também funciona.