Resolva as equações:
x^{2}=-1+i;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \,x^{2} = -1 + i\,.
Informações dadas: o desconhecido x é um número complexo e o lado direito é o número complexo -1 + i.
Objetivo: encontrar todos os números complexos x tais que \,x^{2} = -1 + i.

Passo 2

Vou usar um método algébrico elementar: escrever x na forma x = a + bi, com a,b números reais, e comparar parte real e parte imaginária. Esse método não exige conhecimentos de formas polares e funciona bem para fazer passo a passo na prova.

Passo 3

Escrevendo x = a + bi e elevando ao quadrado temos:
(a+bi)^2 = a^2 + 2ab\,i + (bi)^2.
Como i^2 = -1, então (bi)^2 = -b^2. Portanto
(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2ab\,i.

Passo 4

Como queremos (a+bi)^2 = -1 + i, igualamos as partes real e imaginária:
\begin{cases} a^2 - b^2 = -1,\\[6pt] 2ab = 1. \end{cases}
Expliquei: a primeira linha vem das partes reais e a segunda das partes imaginárias.]

Passo 5

Da segunda equação obtemos 2ab = 1, assim
b = \frac{1}{2a},
desde que a \neq 0. Verifico a possibilidade a=0: se a=0 então 2ab=0\neq1, impossível. Logo a\neq0 e a expressão acima é válida.

Passo 6

Substituo b = \dfrac{1}{2a} na primeira equação:
a^2 - \left(\frac{1}{2a}\right)^2 = -1.
Isso dá
a^2 - \frac{1}{4a^2} = -1.
Multiplicando ambos os lados por 4a^2 (permitido porque a\neq0),
4a^4 - 1 = -4a^2.
Reorganizando,
4a^4 + 4a^2 - 1 = 0.

Passo 7

Faço a substituição y = a^2 (note que y\ge0). A equação vira uma quadrática:
4y^2 + 4y - 1 = 0.
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara,
y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot4\cdot(-1)}}{2\cdot4} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+16}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Como y=a^2\ge0, escolhemos a raiz não negativa:
a^2 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}.
A outra opção \dfrac{-1-\sqrt{2}}{2} é negativa, descartada. Assim
a = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.

Passo 9

Agora calculo b. Lembre que b=\dfrac{1}{2a}. Então
b^2 = \frac{1}{4a^2} = \frac{1}{4\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}} = \frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}.
Racionalizando o denominador:
b^2 = \frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}.
Logo
b = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}.
O sinal de b deve ser o mesmo de a, porque b = 1/(2a) e 1 é positivo. Portanto as soluções aparecem com sinais combinados.

Passo 10

Junto as informações: as duas soluções são
x = +\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \;+\; i\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\right)
e
x = -\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \;+\; i\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\right).
Uma verificação rápida: para a primeira solução temos a^2 - b^2 = \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}+1}{2} = -1 e 2ab = 1, então o quadrado dá -1+i. A segunda é simplesmente o negativo da primeira (os dois sinais mudam), e ( -z )^2 = z^2, então também funciona.

Resposta

\displaystyle x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}
\displaystyle x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}

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