Seja r um número real positivo e seja \alpha \in \mathbb{C}. Interprete geometricamente:
{z \in \mathbb{C} ;|z-\alpha|<r};

Passo 1

O enunciado pede para interpretar geometricamente o conjunto \{z\in\mathbb{C} \;|\; |z-\alpha|<r\}. As informações dadas são: r é um número real positivo e \alpha\in\mathbb{C}. Não há outras condições — só isso.

Passo 2

Vamos entender o que significa o símbolo |z-\alpha|. Para z e \alpha no plano complexo, escrevendo \alpha=a+bi e z=x+iy com a,b,x,y\in\mathbb{R}, temos
|z-\alpha|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.
Explicação didática: |z-\alpha| é a distância euclidiana entre os pontos (x,y) e (a,b) no plano. Então toda expressão |z-\alpha|<r fala sobre a distância de z até o ponto \alpha.

Passo 3

Substituindo a interpretação de distância, a condição |z-\alpha|<r fica, em coordenadas:
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<r.
Elevando ao quadrado (como r>0, a operação preserva a desigualdade), obtemos a forma mais familiar:
(x-a)^2+(y-b)^2<r^2.
Isso é exatamente a inequação que descreve um disco no plano com centro em (a,b) e raio r.

Passo 4

Conclusão geométrica direta: o conjunto \{z\in\mathbb{C} \;|\; |z-\alpha|<r\} é o disco aberto de centro \alpha e raio r. Em palavras de bolso: são todos os pontos do plano complexo cuja distância até o ponto \alpha é menor que r.

Passo 5

Visualização prática: a fronteira desse disco é a circunferência dada pela igualdade |z-\alpha|=r. Uma maneira útil de escrever os pontos da fronteira é em forma polar:
z=\alpha + r e^{i\theta},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Os pontos dentro do disco são \alpha + \rho e^{i\theta} com 0\le \rho<r.

Passo 6

Propriedade topológica importante (útil na prova): esse conjunto é aberto no plano complexo. Prova curta e intuitiva: se |z_0-\alpha|<r, tome \varepsilon=r-|z_0-\alpha|>0. Para qualquer w com |w-z_0|<\varepsilon vale, pela desigualdade triangular,
|w-\alpha|\le |w-z_0|+|z_0-\alpha|<\varepsilon+|z_0-\alpha|=r,
logo w também está no conjunto. Assim há sempre uma bola (pequena) ao redor de z_0 contida no conjunto — é um disco aberto.

Passo 7

Exemplos concretos para fixar: se \alpha=0 e r=2, o conjunto é \{z\;|\;|z|<2\}, ou seja, o disco aberto centrado na origem e raio 2. Se \alpha=1+i e r=3, o centro é o ponto (1,1) e o disco tem raio 3.

Passo 8

Observação comparativa útil na prova: trocar < por \le transforma o disco aberto em disco fechado. Ou seja, \{z\;|\;|z-\alpha|\le r\} inclui também a circunferência de raio r — é o disco fechado.

Resposta

Disco aberto de centro \alpha e raio r, isto é, o conjunto dos pontos do plano cuja distância a \alpha é menor que r.

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