Seja
um número real positivo e seja
. Interprete geometricamente:
;
Passo 1
O enunciado pede para interpretar geometricamente o conjunto
. As informações dadas são:
é um número real positivo e
. Não há outras condições — só isso.
Passo 2
Vamos entender o que significa o símbolo
. Para
e
no plano complexo, escrevendo
e
com
, temos
Explicação didática:
é a distância euclidiana entre os pontos
e
no plano. Então toda expressão
fala sobre a distância de
até o ponto
.
Passo 3
Substituindo a interpretação de distância, a condição
fica, em coordenadas:
Elevando ao quadrado (como
, a operação preserva a desigualdade), obtemos a forma mais familiar:
Isso é exatamente a inequação que descreve um disco no plano com centro em
e raio
.
Passo 4
Conclusão geométrica direta: o conjunto
é o disco aberto de centro
e raio
. Em palavras de bolso: são todos os pontos do plano complexo cuja distância até o ponto
é menor que
.
Passo 5
Visualização prática: a fronteira desse disco é a circunferência dada pela igualdade
. Uma maneira útil de escrever os pontos da fronteira é em forma polar:
Os pontos dentro do disco são
com
.
Passo 6
Propriedade topológica importante (útil na prova): esse conjunto é aberto no plano complexo. Prova curta e intuitiva: se
, tome
. Para qualquer
com
vale, pela desigualdade triangular,
logo
também está no conjunto. Assim há sempre uma bola (pequena) ao redor de
contida no conjunto — é um disco aberto.
Passo 7
Exemplos concretos para fixar: se
e
, o conjunto é
, ou seja, o disco aberto centrado na origem e raio
. Se
e
, o centro é o ponto
e o disco tem raio
.
Passo 8
Observação comparativa útil na prova: trocar
por
transforma o disco aberto em disco fechado. Ou seja,
inclui também a circunferência de raio
— é o disco fechado.
Resposta
Disco aberto de centro
e raio
, isto é, o conjunto dos pontos do plano cuja distância a
é menor que
.