Com base nas informações do texto abaixo responda as questões 4, 5 e 6 .
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a 0,20 \mathrm{~m}^{2}. O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual a 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e o fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano. Na entrada do cano, a pressão absoluta é de 621,775 k Pa, a massa específica do fluido é de 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a velocidade é igual a 150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída, o cano, a pressão cai para 423,650 \mathrm{kPa} e a massa específica é de 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei todos estes dados do texto fornecido) e o que vou responder. Observação: o enunciado original pediu as “questões 4, 5 e 6”, mas o texto com o enunciado enviado não trouxe o enunciado explícito dessas questões. Vou assumir que as questões pedem os itens típicos para esse tipo de problema: (i) velocidade na saída do cano, (ii) força axial resultante que o fluido exerce sobre o trecho do cano entre entrada e saída, e (iii) a vazão mássica em cada furo (as 4 perfurações). Se as questões 4–6 forem diferentes, me avise depois; por enquanto resolvo esses três itens porque são os mais prováveis e úteis dados os dados fornecidos.
Dados fornecidos (todos extraídos do texto):
  • Área da seção reta do cano: \,A=0,20\\ \mathrm{m^{2}}\,.
  • Regime permanente (estado estacionário).
  • Número de furos: 4 furos idênticos; somatório das vazões mássicas pelos furos: \,\dot m_{\text{furos,tot}}=40\\ \mathrm{kg/s}\,.
  • Os jatos pelos furos são normais à parede do cano (logo, componente axial dos jatos = 0).
  • Entrada (estado 1): pressão absoluta \,p_{1}=621{,}775\\ \mathrm{kPa}=621\,775\\ \mathrm{Pa}\,; massa específica \,\rho_{1}=7\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,; velocidade \,v_{1}=150\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Saída (estado 2): pressão absoluta \,p_{2}=423{,}650\\ \mathrm{kPa}=423\,650\\ \mathrm{Pa}\,; massa específica \,\rho_{2}=4\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,.
  • Conservação de massa: em regime permanente, a massa que entra = massa que sai pelo troço final + massa que sai pelos furos.
A partir daí, vou calcular passo a passo os itens assumidos (velocidade de saída, força axial e vazão por furo), explicando as fórmulas usadas.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) — aula rápida e aplicação.
Conceito: em regime permanente, o fluxo mássico que entra no trecho considerado deve ser igual ao somatório das vazões mássicas que saem (saída axial + furos). A vazão mássica é \dot m=\rho\,A\,v, onde:
  • \rho é a massa específica (kg/m^3),
  • A é a área (m^2),
  • v é a velocidade média no trecho (m/s).
Calcule a vazão mássica na entrada:
\dot m_{\text{in}}=\rho_{1} A v_{1}.
Substituindo os valores:
\dot m_{\text{in}} = 7\cdot 0{,}20\cdot 150 = 7\cdot 30 = 210\\ \mathrm{kg/s}.
Isto faz sentido também porque o fluxo volumétrico de entrada é Q_{1}=A v_{1}=0{,}2\cdot150=30\\ \mathrm{m^{3}/s} e \dot m_{1}=\rho_{1}Q_{1}=7\cdot30=210\\ \mathrm{kg/s}.
Como o somatório das vazões pelos furos é \dot m_{\text{furos,tot}}=40\\ \mathrm{kg/s}, a vazão mássica que sai pelo final do cano é:
\dot m_{\text{out}}=\dot m_{\text{in}}-\dot m_{\text{furos,tot}}=210-40 = 170\\ \mathrm{kg/s}.
Agora a velocidade média na saída é obtida por \dot m_{\text{out}}=\rho_{2}A v_{2}. Então:
v_{2}=\frac{\dot m_{\text{out}}}{\rho_{2}A}=\frac{170}{4\cdot0{,}20}=\frac{170}{0{,}8}=212{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação didática: a massa que sai pelo final é menor que a de entrada (porque 40 kg/s saem pelos furos), então para manter continuidade com menor massa específica na saída ( \rho_{2}=4) a velocidade precisa aumentar — aí aparece v_{2}=212{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Vazão mássica por furo e vazão volumétrica correspondente — passo a passo.
Como os 4 furos são idênticos e o problema deu o somatório das vazões mássicas pelos furos igual a 40\\ \mathrm{kg/s}, a vazão mássica em cada furo é simplesmente:
\dot m_{\text{furo}}=\frac{\dot m_{\text{furos,tot}}}{4}=\frac{40}{4}=10\\ \mathrm{kg/s}\\ \text{(por furo)}.
Observação sobre vazão volumétrica por furo: para obter Q_{\text{furo}} (m^3/s) seria preciso a massa específica local onde o fluido atravessa o furo. O enunciado não diz a posição dos furos nem a massa específica local; portanto não é possível determinar Q_{\text{furo}} sem essa informação adicional. Se alguém assumir que a densidade nos furos seja, por exemplo, \rho_{1} (entrada) ou alguma média, pode-se calcular Q=\dot m/\rho, mas isso seria uma hipótese adicional.

Passo 4

Balanço de quantidade de movimento (momento linear) na direção axial — aula rápida sobre o método e aplicação para achar a força resultante.
Conceito: em regime permanente, a equação integral do impulso (componente axial) para um volume de controle com entradas e saídas abertas é
\sum F_{\text{ext},x} = \sum \dot m_{\text{out}} v_{x,\text{out}} - \sum \dot m_{\text{in}} v_{x,\text{in}}.
As forças externas na direção axial que atuam sobre o fluido dentro do CV são: forças de pressão nas aberturas (entrada e saída) e a força de contato da parede/ponto de apoio do cano sobre o fluido. Vamos escrever explicitamente e depois isolar a força da parede.
Tomando o eixo x no sentido do escoamento (da entrada para a saída):
Forças de pressão na direção x:
  • No lado da entrada a pressão p_{1} atua empurrando o fluido para dentro do CV no sentido +x, contribuição +p_{1}A.
  • No lado da saída a pressão p_{2} age no sentido contrário ao fluxo (sai do CV), contribuição -p_{2}A.
  • Furos têm normais radiais; portanto não geram força axial resultante (os pares simétricos cancelam), então não contribuem axialmente.
Se F_{\text{wall},x} for a força exercida pela parede/pontos de fixação sobre o fluido (positivo se apontar no sentido +x), então a soma das forças externas é:
p_{1}A - p_{2}A + F_{\text{wall},x}.
No RHS temos os termos de fluxo de quantidade de movimento axial:
  • entrada: \dot m_{\text{in}} v_{1} (entrando para o CV),
  • saída axial final: \dot m_{\text{out}} v_{2},
  • furos: cada jato sai com componente axial nula, então não contribuem.
Portanto a equação fica:
p_{1}A - p_{2}A + F_{\text{wall},x} = \dot m_{\text{out}} v_{2} - \dot m_{\text{in}} v_{1}.
Isolando F_{\text{wall},x}:
F_{\text{wall},x} = \dot m_{\text{out}} v_{2} - \dot m_{\text{in}} v_{1} - (p_{1}-p_{2})A.
Cálculo numérico (substituindo os valores já calculados):
  • (p_{1}-p_{2}) = 621\,775 - 423\,650 = 198\,125\\ \mathrm{Pa}.
  • (p_{1}-p_{2})A = 198\,125\cdot 0{,}20 = 39\,625\\ \mathrm{N}.
  • \dot m_{\text{in}} v_{1} = 210\cdot 150 = 31\,500\\ \mathrm{N}.
  • \dot m_{\text{out}} v_{2} = 170\cdot 212{,}5 = 36\,125\\ \mathrm{N}.
Logo:
F_{\text{wall},x} = 36\,125 - 31\,500 - 39\,625 = -35\,000\\ \mathrm{N}.
Interpretação física do sinal: F_{\text{wall},x} é a força que a parede (o cano, suportes) exerce sobre o fluido. O resultado negativo -35\,000\\ \mathrm{N} significa que essa força está apontando no sentido oposto ao escoamento (isto é, a parede exerce sobre o fluido uma força de 35\,000\\ \mathrm{N} no sentido -x). Pelo princípio da ação e reação, o fluido exerce sobre o cano uma força igual e oposta de +35\,000\\ \mathrm{N} (isto é, no sentido do escoamento, para a direita no nosso eixo).
Portanto, a força axial resultante que o fluido exerce sobre o cano (aquela que o suporte deve resistir) tem magnitude 35\,000\\ \mathrm{N} e aponta no sentido do escoamento.

Passo 5

Observações finais e simetrias (questões úteis na prova)
  • As componentes radiais das forças produzidas pelos jatos nos furos se anulam por simetria (2 pares de furos diametralmente opostos com eixos perpendiculares) — portanto o resultado total radial é nulo.
  • Não foi possível calcular vazões volumétricas exatas por furo sem saber a massa específica local no ponto do furo; por isso no Passo 3 mantivemos apenas a vazão mássica por furo que é perfeitamente determinada ( 10\\ \mathrm{kg/s} por furo).
  • Se houver necessidade de sinalizar a direção da força na resposta final: o fluido empurra o cano no sentido do escoamento com 35\,000\\ \mathrm{N}.

Resposta

v_{2}=212{,}5\\ \mathrm{m/s}
F_{\text{(fluido sobre cano, axial)}}=35\,000\\ \mathrm{N} (no sentido do escoamento)
\dot m_{\text{por furo}}=10\\ \mathrm{kg/s}

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