Com base nas informações do texto abaixo responda as questões 4, 5 e 6 .
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a
. O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual a
e o fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano. Na entrada do cano, a pressão absoluta é de 621,775
Pa, a massa específica do fluido é de
e a velocidade é igual a
. Na saída, o cano, a pressão cai para
e a massa específica é de
.
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei todos estes dados do texto fornecido) e o que vou responder. Observação: o enunciado original pediu as “questões 4, 5 e 6”, mas o texto com o enunciado enviado não trouxe o enunciado explícito dessas questões. Vou assumir que as questões pedem os itens típicos para esse tipo de problema: (i) velocidade na saída do cano, (ii) força axial resultante que o fluido exerce sobre o trecho do cano entre entrada e saída, e (iii) a vazão mássica em cada furo (as 4 perfurações). Se as questões 4–6 forem diferentes, me avise depois; por enquanto resolvo esses três itens porque são os mais prováveis e úteis dados os dados fornecidos.
Dados fornecidos (todos extraídos do texto):
- Área da seção reta do cano:
- Regime permanente (estado estacionário).
- Número de furos: 4 furos idênticos; somatório das vazões mássicas pelos furos:
. - Os jatos pelos furos são normais à parede do cano (logo, componente axial dos jatos = 0).
- Entrada (estado 1): pressão absoluta
; massa específica ; velocidade . - Saída (estado 2): pressão absoluta
; massa específica . - Conservação de massa: em regime permanente, a massa que entra = massa que sai pelo troço final + massa que sai pelos furos.
A partir daí, vou calcular passo a passo os itens assumidos (velocidade de saída, força axial e vazão por furo), explicando as fórmulas usadas.
Passo 2
Conservação de massa (continuidade) — aula rápida e aplicação.
Conceito: em regime permanente, o fluxo mássico que entra no trecho considerado deve ser igual ao somatório das vazões mássicas que saem (saída axial + furos). A vazão mássica é
, onde:
-
é a massa específica (kg/m^3), -
é a área (m^2), -
é a velocidade média no trecho (m/s).
Calcule a vazão mássica na entrada:
Substituindo os valores:
Isto faz sentido também porque o fluxo volumétrico de entrada é
e
.
Como o somatório das vazões pelos furos é
, a vazão mássica que sai pelo final do cano é:
Agora a velocidade média na saída é obtida por
. Então:
Interpretação didática: a massa que sai pelo final é menor que a de entrada (porque 40 kg/s saem pelos furos), então para manter continuidade com menor massa específica na saída (
) a velocidade precisa aumentar — aí aparece
.
Passo 3
Vazão mássica por furo e vazão volumétrica correspondente — passo a passo.
Como os 4 furos são idênticos e o problema deu o somatório das vazões mássicas pelos furos igual a
, a vazão mássica em cada furo é simplesmente:
Observação sobre vazão volumétrica por furo: para obter
(m^3/s) seria preciso a massa específica local onde o fluido atravessa o furo. O enunciado não diz a posição dos furos nem a massa específica local; portanto não é possível determinar
sem essa informação adicional. Se alguém assumir que a densidade nos furos seja, por exemplo,
(entrada) ou alguma média, pode-se calcular
, mas isso seria uma hipótese adicional.
Passo 4
Balanço de quantidade de movimento (momento linear) na direção axial — aula rápida sobre o método e aplicação para achar a força resultante.
Conceito: em regime permanente, a equação integral do impulso (componente axial) para um volume de controle com entradas e saídas abertas é
As forças externas na direção axial que atuam sobre o fluido dentro do CV são: forças de pressão nas aberturas (entrada e saída) e a força de contato da parede/ponto de apoio do cano sobre o fluido. Vamos escrever explicitamente e depois isolar a força da parede.
Tomando o eixo
no sentido do escoamento (da entrada para a saída):
Forças de pressão na direção
:
- No lado da entrada a pressão
atua empurrando o fluido para dentro do CV no sentido +x, contribuição . - No lado da saída a pressão
age no sentido contrário ao fluxo (sai do CV), contribuição . - Furos têm normais radiais; portanto não geram força axial resultante (os pares simétricos cancelam), então não contribuem axialmente.
Se
for a força exercida pela parede/pontos de fixação sobre o fluido (positivo se apontar no sentido +x), então a soma das forças externas é:
No RHS temos os termos de fluxo de quantidade de movimento axial:
- entrada:
(entrando para o CV), - saída axial final:
, - furos: cada jato sai com componente axial nula, então não contribuem.
Portanto a equação fica:
Isolando
:
Cálculo numérico (substituindo os valores já calculados):
Logo:
Interpretação física do sinal:
é a força que a parede (o cano, suportes) exerce sobre o fluido. O resultado negativo
significa que essa força está apontando no sentido oposto ao escoamento (isto é, a parede exerce sobre o fluido uma força de
no sentido -x). Pelo princípio da ação e reação, o fluido exerce sobre o cano uma força igual e oposta de
(isto é, no sentido do escoamento, para a direita no nosso eixo).
Portanto, a força axial resultante que o fluido exerce sobre o cano (aquela que o suporte deve resistir) tem magnitude
e aponta no sentido do escoamento.
Passo 5
Observações finais e simetrias (questões úteis na prova)
- As componentes radiais das forças produzidas pelos jatos nos furos se anulam por simetria (2 pares de furos diametralmente opostos com eixos perpendiculares) — portanto o resultado total radial é nulo.
- Não foi possível calcular vazões volumétricas exatas por furo sem saber a massa específica local no ponto do furo; por isso no Passo 3 mantivemos apenas a vazão mássica por furo que é perfeitamente determinada (
por furo). - Se houver necessidade de sinalizar a direção da força na resposta final: o fluido empurra o cano no sentido do escoamento com
.