O campo de velocidade na linha de centro de uma tubulação é:
t. Quais as considerações necessárias para este escoamento? Qual é a expressão para a aceleração da partícula, movendo-se na linha de centro? ( 1,0 ponto).
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade na linha de centro como
. As perguntas são:
- Quais considerações (assunções) necessárias para esse escoamento?
- Qual é a expressão para a aceleração da partícula que se move na linha de centro?
Informações explícitas do enunciado:
-
depende de e de e aparece multiplicado por . -
e aparecem como constantes (assumir que são constantes geometria/problema). - A expressão foi dada apenas na linha de centro da tubulação (ou seja, é um campo unidimensional ao longo do eixo).
Passo 2
Considerações necessárias (o que é razoável assumir para que a formulação faça sentido):
- Assumir um sistema de coordenadas com o eixo
ao longo da linha de centro da tubulação e um vetor unitário axial . - Interpretar o campo dado como unidimensional e puramente axial:
, onde . - Assumir que
e são constantes conhecidas (numéricas) e que é a variável de tempo. - Exigir regularidade suficiente:
é continuamente diferenciável em e para que derivadas temporais e espaciais existam. - Reconhecer que esse campo é um campo Euleriano dado ao longo da linha de centro. Se for necessário estudar massa/continuidade do escoamento completo, seria preciso conhecer o campo fora da linha central ou a variação da área da seção transversal; portanto, aqui tratamos apenas da cinemática ao longo da linha central.
- Notar que, em geral, esse campo tem divergência não-nula em 1D (
), logo o escoamento axial isolado pode ser compressível ou requerer variação de área transversal para conservar massa — mas isso é uma consideração de continuidade global, não impede calcular a aceleração local.
Passo 3
Fórmula da aceleração de uma partícula (material derivative). Em fluídos, a aceleração de uma partícula é dada pela derivada material do campo de velocidade:
Explicando cada termo:
-
é a aceleração local (variação temporal do campo no ponto fixo do espaço). -
é a aceleração convectiva (variação espacial do campo percebida pela partícula que se move).
Para um campo unidimensional, isso reduz para
Aqui
é a componente axial da velocidade;
e
são as derivadas parciais usuais.
Passo 4
Especificar
e calcular
. Temos
Como
trata
como constante,
Interpretação: este termo é proporcional a
e não depende de
(porque o fator
foi derivado).
Passo 5
Calcular a derivada espacial
e o termo convectivo
.
Derivando em (tratando
como constante):
Derivando em
Agora o termo convectivo é
Passo 6
Somar os termos para obter a aceleração material. Assim,
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 7
Interpretação rápida e checagens simples:
- Em
(centro referencial), o termo convectivo anula-se ( ), ficando . - O primeiro termo
é a aceleração local (devida à dependência explícita em ); o segundo termo é não linear em (proporcional a ) e cresce com e com . - Para usar essa expressão como aceleração de uma partícula específica, avalie-a ao longo da trajetória
da partícula (isto é, substituir por ou, alternativamente, resolver e depois calcular ). Aqui apresentamos a aceleração em campo Euleriano (derivada material pronta para avaliar na trajetória).
Resposta
Considerações: assumir fluxo unidimensional axial
com
,
e
constantes, campo suficientemente diferenciável; observar que a continuidade/global pode exigir variação da área se
.
Aceleração da partícula:
Aceleração da partícula: