O campo de velocidade na linha de centro de uma tubulação é: \vec{V}=C\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) t. Quais as considerações necessárias para este escoamento? Qual é a expressão para a aceleração da partícula, movendo-se na linha de centro? ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade na linha de centro como \vec{V}=C\!\left(2+\dfrac{x^{2}}{L^{2}}\right)t. As perguntas são:
  • Quais considerações (assunções) necessárias para esse escoamento?
  • Qual é a expressão para a aceleração da partícula que se move na linha de centro?
Informações explícitas do enunciado:
  • \vec{V} depende de x e de t e aparece multiplicado por t.
  • C e L aparecem como constantes (assumir que são constantes geometria/problema).
  • A expressão foi dada apenas na linha de centro da tubulação (ou seja, é um campo unidimensional ao longo do eixo).

Passo 2

Considerações necessárias (o que é razoável assumir para que a formulação faça sentido):
  • Assumir um sistema de coordenadas com o eixo x ao longo da linha de centro da tubulação e um vetor unitário axial \hat{\mathbf{i}}.
  • Interpretar o campo dado como unidimensional e puramente axial: \vec{V}(x,t)=u(x,t)\,\hat{\mathbf{i}}, onde u(x,t)=C\!\left(2+\dfrac{x^{2}}{L^{2}}\right)t.
  • Assumir que C e L são constantes conhecidas (numéricas) e que t é a variável de tempo.
  • Exigir regularidade suficiente: u(x,t) é continuamente diferenciável em x e t para que derivadas temporais e espaciais existam.
  • Reconhecer que esse campo é um campo Euleriano dado ao longo da linha de centro. Se for necessário estudar massa/continuidade do escoamento completo, seria preciso conhecer o campo fora da linha central ou a variação da área da seção transversal; portanto, aqui tratamos apenas da cinemática ao longo da linha central.
  • Notar que, em geral, esse campo tem divergência não-nula em 1D ( \partial u/\partial x\neq0), logo o escoamento axial isolado pode ser compressível ou requerer variação de área transversal para conservar massa — mas isso é uma consideração de continuidade global, não impede calcular a aceleração local.

Passo 3

Fórmula da aceleração de uma partícula (material derivative). Em fluídos, a aceleração de uma partícula é dada pela derivada material do campo de velocidade:
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a aceleração local (variação temporal do campo no ponto fixo do espaço).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva (variação espacial do campo percebida pela partícula que se move).
    Para um campo unidimensional \vec{V}=u(x,t)\,\hat{\mathbf{i}}, isso reduz para
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{i}}.
Aqui u(x,t) é a componente axial da velocidade; \partial u/\partial t e \partial u/\partial x são as derivadas parciais usuais.

Passo 4

Especificar u(x,t) e calcular \partial u/\partial t. Temos
u(x,t)=C\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)t.
Como \partial/\partial t trata x como constante,
\frac{\partial u}{\partial t}=C\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right).
Interpretação: este termo é proporcional a C e não depende de t (porque o fator t foi derivado).

Passo 5

Calcular a derivada espacial \partial u/\partial x e o termo convectivo u\,\partial u/\partial x.
Derivando em x (tratando t como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=C\,t\cdot\frac{d}{dx}\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) = C\,t\cdot\frac{2x}{L^{2}}.
Agora o termo convectivo é
u\frac{\partial u}{\partial x} = \bigg[C\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)t\bigg]\cdot\bigg[C\,t\cdot\frac{2x}{L^{2}}\bigg] = C^{2}t^{2}\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\frac{2x}{L^{2}}.

Passo 6

Somar os termos para obter a aceleração material. Assim,
\frac{D\vec{V}}{Dt} =\left[\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}\right]\hat{\mathbf{i}} =\left[C\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) + C^{2}t^{2}\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\frac{2x}{L^{2}}\right]\hat{\mathbf{i}}.
Podemos fatorar \left(2+\dfrac{x^{2}}{L^{2}}\right) se quisermos:
\frac{D\vec{V}}{Dt} =\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\left[C + C^{2}t^{2}\frac{2x}{L^{2}}\right]\hat{\mathbf{i}}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagens simples:
  • Em x=0 (centro referencial), o termo convectivo anula-se ( 2x=0), ficando \dfrac{D\vec{V}}{Dt}=2C\,\hat{\mathbf{i}}.
  • O primeiro termo C(2+x^{2}/L^{2}) é a aceleração local (devida à dependência explícita em t); o segundo termo é não linear em u (proporcional a C^{2}t^{2}) e cresce com t^{2} e com x.
  • Para usar essa expressão como aceleração de uma partícula específica, avalie-a ao longo da trajetória x=x(t) da partícula (isto é, substituir x por x(t) ou, alternativamente, resolver \dot{x}=u(x,t) e depois calcular \ddot{x}). Aqui apresentamos a aceleração em campo Euleriano (derivada material pronta para avaliar na trajetória).

Resposta

Considerações: assumir fluxo unidimensional axial \vec{V}=u(x,t)\hat{\mathbf{i}} com u(x,t)=C\!\left(2+\dfrac{x^{2}}{L^{2}}\right)t, C e L constantes, campo suficientemente diferenciável; observar que a continuidade/global pode exigir variação da área se \partial u/\partial x\neq0.
Aceleração da partícula:
\frac{D\vec{V}}{Dt} =\left[C\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) + C^{2}t^{2}\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\frac{2x}{L^{2}}\right]\hat{\mathbf{i}}.

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