Pergunta: determinar (sem resolver a EDO) o intervalo máximo em que esse PVI tem solução.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Coeficiente que multiplica y'' é \;a(t)=t^{2}-4\;.
Coeficiente de y' é \;b(t)=1\;.
Coeficiente de y é \;c(t)=\operatorname{sen} t\;.
Termo do lado direito é \;g(t)=\dfrac{e^{t}}{t}\;.
O ponto inicial é t_{0}=1.]
Passo 2
Qual é o teorema usado (em linguagem simples)? Para uma equação linear de segunda ordem da forma
a(t)\,y''+b(t)\,y'+c(t)\,y=g(t),
se a,b,c,g são contínuas em um intervalo I e a(t)\neq 0 em todo I, então para qualquer condição inicial em t_{0}\in I existe uma única solução definida em todo o intervalo I.
O que isso significa na prática (explicando passo a passo e sem jargões):
“Contínuas” quer dizer que os coeficientes não têm saltos nem infinitos dentro do intervalo: você consegue desenhá-los sem levantar o lápis.
Precisamos também que a(t) não seja zero, porque para escrever a EDO na forma padrão
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=r(t)
temos que dividir por a(t). Se a(t)=0 em algum ponto, a divisão dá problema (coeficientes explodem).
Portanto, para aplicar o teorema e garantir solução única numa vizinhança de t_{0}, devemos encontrar um intervalo contendo t_{0} em que todas as funções obtidas ao dividir por a(t) fiquem contínuas.
Passo 3
Colocar a equação em forma padrão (mostrando cada termo): dividindo por a(t)=t^{2}-4 (quando isso for permitido) obtemos
p(t)=\dfrac{1}{t^{2}-4} é o coeficiente de y' após a divisão;
q(t)=\dfrac{\operatorname{sen} t}{t^{2}-4} é o coeficiente de y;
r(t)=\dfrac{e^{t}}{t\,(t^{2}-4)} é o termo conhecido do lado direito.
Para que p,q,r sejam contínuas num intervalo, é necessário que o denominador não se anule e que não haja divisão por zero em r(t). Logo os pontos que podem causar problemas são raízes do denominador.
Passo 4
Determinar os pontos singulares (onde os coeficientes deixam de ser contínuos):
t^{2}-4=0 quando t=\pm 2. Nesses pontos p(t) e q(t) ficam indefinidos.
Além disso, r(t)=\dfrac{e^{t}}{t(t^{2}-4)} também tem problema em t=0 por causa do fator t do denominador.
Portanto os pontos que tornam a forma padrão inválida são \;t=-2,\;t=0,\;t=2\;.
Passo 5
Agora olhamos para o ponto inicial t_{0}=1 e vemos qual é o maior intervalo aberto contendo 1 que não contém nenhum desses pontos singulares. Ordenando os singulares na reta real:
-2\quad<\quad 0\quad<\quad 1\quad<\quad 2.
Os singulares imediatamente à esquerda e à direita de 1 são 0 (à esquerda) e 2 (à direita). Assim o maior intervalo aberto que contém 1 e evita os problemas é
(0,2).
Passo 6
Justificativa final por que este intervalo é máximo:
Em (0,2) todos os coeficientes p,q,r são contínuos e a(t)\neq 0, logo pelo teorema existe uma única solução para o PVI em todo (0,2).
Não é possível estender a solução além de 0 para a esquerda nem além de 2 para a direita sem encontrar um ponto onde a equação padrão deixa de fazer sentido (divisão por zero), portanto não existe garantia de existência/unicidade além desse intervalo. Por isso (0,2) é o intervalo máximo (aberto) contendo 1 onde o teorema garante solução única.