Com base nesse teorema determinar:
(a) o intervalo máximo em que o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+(\operatorname{sen} t) y=\frac{e^{t}}{t} \\\ y(1)=y_{0}, \quad y^{\prime}(1)=y_{0}^{\prime} \end{array}\right.
tem solução (sem resolvê-lo).

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+(\operatorname{sen} t)\, y=\dfrac{e^{t}}{t},\\[6pt] y(1)=y_{0},\quad y'(1)=y_{0}'. \end{array}\right.
Pergunta: determinar (sem resolver a EDO) o intervalo máximo em que esse PVI tem solução.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Coeficiente que multiplica y'' é \;a(t)=t^{2}-4\;.
  • Coeficiente de y' é \;b(t)=1\;.
  • Coeficiente de y é \;c(t)=\operatorname{sen} t\;.
  • Termo do lado direito é \;g(t)=\dfrac{e^{t}}{t}\;.
  • O ponto inicial é t_{0}=1.]

Passo 2

Qual é o teorema usado (em linguagem simples)? Para uma equação linear de segunda ordem da forma
a(t)\,y''+b(t)\,y'+c(t)\,y=g(t),
se a,b,c,g são contínuas em um intervalo I e a(t)\neq 0 em todo I, então para qualquer condição inicial em t_{0}\in I existe uma única solução definida em todo o intervalo I.
O que isso significa na prática (explicando passo a passo e sem jargões):
  • “Contínuas” quer dizer que os coeficientes não têm saltos nem infinitos dentro do intervalo: você consegue desenhá-los sem levantar o lápis.
  • Precisamos também que a(t) não seja zero, porque para escrever a EDO na forma padrão
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=r(t)
temos que dividir por a(t). Se a(t)=0 em algum ponto, a divisão dá problema (coeficientes explodem).
  • Portanto, para aplicar o teorema e garantir solução única numa vizinhança de t_{0}, devemos encontrar um intervalo contendo t_{0} em que todas as funções obtidas ao dividir por a(t) fiquem contínuas.

Passo 3

Colocar a equação em forma padrão (mostrando cada termo): dividindo por a(t)=t^{2}-4 (quando isso for permitido) obtemos
y''+\underbrace{\dfrac{1}{t^{2}-4}}_{p(t)}\,y'+\underbrace{\dfrac{\operatorname{sen} t}{t^{2}-4}}_{q(t)}\,y=\underbrace{\dfrac{e^{t}}{t\,(t^{2}-4)}}_{r(t)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • p(t)=\dfrac{1}{t^{2}-4} é o coeficiente de y' após a divisão;
  • q(t)=\dfrac{\operatorname{sen} t}{t^{2}-4} é o coeficiente de y;
  • r(t)=\dfrac{e^{t}}{t\,(t^{2}-4)} é o termo conhecido do lado direito.
    Para que p,q,r sejam contínuas num intervalo, é necessário que o denominador não se anule e que não haja divisão por zero em r(t). Logo os pontos que podem causar problemas são raízes do denominador.

Passo 4

Determinar os pontos singulares (onde os coeficientes deixam de ser contínuos):
  • t^{2}-4=0 quando t=\pm 2. Nesses pontos p(t) e q(t) ficam indefinidos.
  • Além disso, r(t)=\dfrac{e^{t}}{t(t^{2}-4)} também tem problema em t=0 por causa do fator t do denominador.
    Portanto os pontos que tornam a forma padrão inválida são \;t=-2,\;t=0,\;t=2\;.

Passo 5

Agora olhamos para o ponto inicial t_{0}=1 e vemos qual é o maior intervalo aberto contendo 1 que não contém nenhum desses pontos singulares. Ordenando os singulares na reta real:
-2\quad<\quad 0\quad<\quad 1\quad<\quad 2.
Os singulares imediatamente à esquerda e à direita de 1 são 0 (à esquerda) e 2 (à direita). Assim o maior intervalo aberto que contém 1 e evita os problemas é
(0,2).

Passo 6

Justificativa final por que este intervalo é máximo:
  • Em (0,2) todos os coeficientes p,q,r são contínuos e a(t)\neq 0, logo pelo teorema existe uma única solução para o PVI em todo (0,2).
  • Não é possível estender a solução além de 0 para a esquerda nem além de 2 para a direita sem encontrar um ponto onde a equação padrão deixa de fazer sentido (divisão por zero), portanto não existe garantia de existência/unicidade além desse intervalo. Por isso (0,2) é o intervalo máximo (aberto) contendo 1 onde o teorema garante solução única.

Resposta

(0,2)

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