QUESTÃO 39
A derivada de
é igual a:
(A)
.
(B)
.
C
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta qual das alternativas (A) a (E) representa corretamente a derivada
. As alternativas são:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
O que se pede: escolher a alternativa correta que corresponde à definição de derivada aplicada à função dada.
Passo 2
Relembre a definição de derivada: para qualquer função
, a derivada em
é o limite do quociente incremental,
Explicando devagar:
significa "avaliar a função no ponto
";
é o valor no ponto
. A diferença
é a variação da função quando a variável
aumenta em
. Dividimos por
para obter a taxa média de variação e depois fazemos
para obter a taxa instantânea (a derivada). Um exemplo simples: se
, então
e
Isso ilustra que é crucial avaliar a função em
corretamente.
Passo 3
Aplique isso ao nosso
. Primeiro calcule
: substituir
por
em toda a expressão da função:
Observação importante: o
entra multiplicado por
dentro da raiz cúbica, porque
. Compare isso com as alternativas:
- A escreve
, que seria (ou seja, ). Isso não corresponde a . Logo A está errada. - C escreve
, isto é, soma fora da raiz cúbica; isso não é . Logo C está errada. - D escreve
; isso usa , o que é falso em geral. Portanto D está errada.
Portanto, a única que tem a forma correta de avaliaré a alternativa B, que usa .
Passo 4
Para confirmar rigorosamente: substituímos
e
na definição:
que é exatamente a alternativa (B). Se você quiser ver o valor da derivada, podemos simplificar mais: escrevendo
, temos
Usando a regra do potência (derivada de
é
) aplicada com
, obtemos
Esse cálculo confirma que a expressão limite da alternativa (B) leva ao valor correto da derivada. (Não precisamos efetuar esse cálculo para responder a questão de escolha da forma do limite, mas ele ajuda a entender que a forma B é consistente.)
Passo 5
Resumo e incentivo: a definição de derivada exige avaliar a função em
corretamente; prestar atenção se o
entra dentro da operação (aqui multiplicado por
) ou fora dela é o truque que costuma confundir. Você já fez o passo mais importante: identificar que a alternativa (B) usa
e as outras não, por isso (B) é a correta. Vai dar tudo certo — respira e confia no procedimento passo a passo.
Resposta
(B)