QUESTÃO 39

A derivada de y(x)=\sqrt[3]{10 x} é igual a:
(A) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{10 x+h}-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(B) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{10(x+h)}-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
C y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{10 x}+h)-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(D) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{10 x}+\sqrt[3]{10 h})-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=\sqrt[3]{10 x} e pergunta qual das alternativas (A) a (E) representa corretamente a derivada y'(x). As alternativas são:
(A) \displaystyle y^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{10 x+h}-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(B) \displaystyle y^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{10(x+h)}-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(C) \displaystyle y^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{10 x}+h)-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(D) \displaystyle y^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{10 x}+\sqrt[3]{10 h})-\sqrt[3]{10 x}}{h}.
(E) Outro resultado.
O que se pede: escolher a alternativa correta que corresponde à definição de derivada aplicada à função dada.

Passo 2

Relembre a definição de derivada: para qualquer função y(x), a derivada em x é o limite do quociente incremental,
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Explicando devagar: y(x+h) significa "avaliar a função no ponto x+h"; y(x) é o valor no ponto x. A diferença y(x+h)-y(x) é a variação da função quando a variável x aumenta em h. Dividimos por h para obter a taxa média de variação e depois fazemos h\to0 para obter a taxa instantânea (a derivada). Um exemplo simples: se y(x)=x^2, então y(x+h)=(x+h)^2 e
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Isso ilustra que é crucial avaliar a função em x+h corretamente.

Passo 3

Aplique isso ao nosso y(x)=\sqrt[3]{10x}. Primeiro calcule y(x+h): substituir x por x+h em toda a expressão da função:
y(x+h)=\sqrt[3]{10(x+h)}=\sqrt[3]{10x+10h}.
Observação importante: o h entra multiplicado por 10 dentro da raiz cúbica, porque 10(x+h)=10x+10h. Compare isso com as alternativas:
  • A escreve \sqrt[3]{10 x+h}, que seria \sqrt[3]{10x+h} (ou seja, 10x+h). Isso não corresponde a 10x+10h. Logo A está errada.
  • C escreve \sqrt[3]{10 x}+h, isto é, soma h fora da raiz cúbica; isso não é y(x+h). Logo C está errada.
  • D escreve \sqrt[3]{10 x}+\sqrt[3]{10 h}; isso usa \sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}, o que é falso em geral. Portanto D está errada.
    Portanto, a única que tem a forma correta de avaliar y(x+h) é a alternativa B, que usa \sqrt[3]{10(x+h)}.

Passo 4

Para confirmar rigorosamente: substituímos y(x+h) e y(x) na definição:
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{10(x+h)}-\sqrt[3]{10x}}{h},
que é exatamente a alternativa (B). Se você quiser ver o valor da derivada, podemos simplificar mais: escrevendo \sqrt[3]{10x}=10^{1/3}x^{1/3}, temos
y(x)=10^{1/3}x^{1/3}.
Usando a regra do potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) aplicada com n=\tfrac{1}{3}, obtemos
y'(x)=10^{1/3}\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3}\,10^{1/3}x^{-2/3}.
Esse cálculo confirma que a expressão limite da alternativa (B) leva ao valor correto da derivada. (Não precisamos efetuar esse cálculo para responder a questão de escolha da forma do limite, mas ele ajuda a entender que a forma B é consistente.)

Passo 5

Resumo e incentivo: a definição de derivada exige avaliar a função em x+h corretamente; prestar atenção se o h entra dentro da operação (aqui multiplicado por 10) ou fora dela é o truque que costuma confundir. Você já fez o passo mais importante: identificar que a alternativa (B) usa 10(x+h) e as outras não, por isso (B) é a correta. Vai dar tudo certo — respira e confia no procedimento passo a passo.

Resposta

(B)

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