QUESTÃO 40

A derivada de y(x)=(f(x)+1)^{3} é igual a:
(A) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(f(x)+1+h)^{3}-(f(x)+1)^{3}}{h}.
(B) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(f(x)+1)^{3}+h-(f(x)+1)^{3}}{h}.
(C) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(f(x)+h)^{3}-(f(x))^{3}}{h}.
(D) y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(f(x+h)+1)^{3}-(f(x)+1)^{3}}{h}.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=(f(x)+1)^{3} e pede qual das alternativas representa corretamente a derivada de y como um limite. Ou seja, entre (A), (B), (C) e (D) qual é a expressão
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}
escrita com y(x)=(f(x)+1)^3. Informações relevantes: a função f depende de x; o incremento do argumento é feito por x\mapsto x+h.

Passo 2

Lembra da definição fundamental: a derivada de uma função y(x) em x é o limite do quociente das diferenças
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Aqui h é o pequeno incremento em x. Isso é a peça-chave: o incremento h entra em x, tornando x+h, e consequentemente transforma f(x) em f(x+h) — não em f(x)+h nem em f(x)+1+h, a menos que f fosse uma função muito específica (o que não foi dito).

Passo 3

Agora calculamos y(x+h) e y(x) a partir de y(x)=(f(x)+1)^3.
y(x+h)=(f(x+h)+1)^3,
porque primeiro incrementamos o x para x+h, então avaliamos f em x+h, e só depois somamos 1 e elevamos ao cubo.
y(x)=(f(x)+1)^3.
Note explicitamente que usei a informação do enunciado y(x)=(f(x)+1)^3 para escrever essas duas expressões.

Passo 4

Substituindo essas duas expressões na definição da derivada obtemos
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)+1)^3-(f(x)+1)^3}{h}.
Compare com as alternativas: isso é exatamente a alternativa (D).

Passo 5

Vou explicar por que as outras alternativas estão erradas, com exemplos e intuição (isso ajuda muito na prova):
  • Alternativa (A): \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{(f(x)+1+h)^3-(f(x)+1)^3}{h}. Aqui o h foi somado ao valor f(x)+1, ou seja, está-se incrementando a imagem da função em vez do argumento x. Em geral f(x+h)\neq f(x)+h, então isso está incorreto. Por exemplo, se f(x)=x^2 e x=1, então f(1+h)= (1+h)^2 = 1+2h+h^2, enquanto f(1)+h=1+h; não coincidem.
  • Alternativa (B): \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{(f(x)+1)^3+h-(f(x)+1)^3}{h}. Aqui o h foi simplesmente somado por fora ao valor de y — isso seria correto só se y(x+h)=y(x)+h, o que não é verdade em geral. É uma alteração errada na posição do incremento.
  • Alternativa (C): \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{(f(x)+h)^3-(f(x))^3}{h}. Aqui faltou o +1 em ambos os termos e, além disso, usou-se f(x)+h em vez de f(x+h). Novamente, incrementar a variável dentro de f é diferente de somar h ao valor de f.
    Portanto as três primeiras opções deformam a ideia correta de “avaliar em x+h” que vem da definição de derivada.

Passo 6

Se você quiser também saber a expressão fechada da derivada (útil na prova depois de reconhecer o quociente), usamos a regra da cadeia. A função pode ser vista como composição y(x)=g(f(x)) com g(u)=(u+1)^3. A regra da cadeia diz
y'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x).
Calculando g'(u)=3(u+1)^2 e substituindo u=f(x),
y'(x)=3(f(x)+1)^2\;f'(x).
Isso confirma intuitivamente que a forma limite da alternativa (D) é a correta, e dá também o resultado prático da derivada.

Resposta

(D)

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