QUESTÃO 40
A derivada de
é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede qual das alternativas representa corretamente a derivada de
como um limite. Ou seja, entre (A), (B), (C) e (D) qual é a expressão
escrita com
. Informações relevantes: a função
depende de
; o incremento do argumento é feito por
.
Passo 2
Lembra da definição fundamental: a derivada de uma função
em
é o limite do quociente das diferenças
Aqui
é o pequeno incremento em
. Isso é a peça-chave: o incremento
entra em
, tornando
, e consequentemente transforma
em
— não em
nem em
, a menos que
fosse uma função muito específica (o que não foi dito).
Passo 3
Agora calculamos
e
a partir de
.
porque primeiro incrementamos o
para
, então avaliamos
em
, e só depois somamos
e elevamos ao cubo.
Note explicitamente que usei a informação do enunciado
para escrever essas duas expressões.
Passo 4
Substituindo essas duas expressões na definição da derivada obtemos
Compare com as alternativas: isso é exatamente a alternativa (D).
Passo 5
Vou explicar por que as outras alternativas estão erradas, com exemplos e intuição (isso ajuda muito na prova):
- Alternativa (A):
. Aqui o foi somado ao valor , ou seja, está-se incrementando a imagem da função em vez do argumento . Em geral , então isso está incorreto. Por exemplo, se e , então , enquanto ; não coincidem. - Alternativa (B):
. Aqui o foi simplesmente somado por fora ao valor de — isso seria correto só se , o que não é verdade em geral. É uma alteração errada na posição do incremento. - Alternativa (C):
. Aqui faltou o em ambos os termos e, além disso, usou-se em vez de . Novamente, incrementar a variável dentro de é diferente de somar ao valor de .
Portanto as três primeiras opções deformam a ideia correta de “avaliar em” que vem da definição de derivada.
Passo 6
Se você quiser também saber a expressão fechada da derivada (útil na prova depois de reconhecer o quociente), usamos a regra da cadeia. A função pode ser vista como composição
com
. A regra da cadeia diz
Calculando
e substituindo
,
Isso confirma intuitivamente que a forma limite da alternativa (D) é a correta, e dá também o resultado prático da derivada.
Resposta
(D)