A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de 12 cm de diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateral.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide regular cuja base é um hexágono regular inscrito em um círculo de diâmetro 12\:\text{cm}. Pede-se a altura h da pirâmide, sabendo que a área da base A_b é um décimo da área lateral A_\ell. Vamos usar:
  1. Geometria do hexágono regular (lado, perímetro, apótema, área).
  2. Fórmula da área lateral de pirâmide regular:
A_\ell = \frac{P\,l}{2},
onde P é o perímetro da base e l a aresta lateral (altura inclinada).
3. Relação entre l, h e apótema da base pelo teorema de Pitágoras.

Passo 2

Para o hexágono regular inscrito em círculo de raio R=6\:\text{cm}:
\bullet Cada lado vale
s = R = 6\:\text{cm}.
\bullet Perímetro
P = 6\,s = 6 \times 6 = 36\:\text{cm}.
\bullet Apótema da base (distância do centro ao meio de um lado)
a = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s = \frac{\sqrt{3}}{2}\times 6 = 3\sqrt{3}\:\text{cm}.

Passo 3

Área da base A_b de um hexágono regular de lado s:
A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 6^2 = 54\sqrt{3}\:\text{cm}^2.

Passo 4

Área lateral A_\ell satisfaz
A_b = \frac{1}{10}\,A_\ell \quad\Longrightarrow\quad A_\ell = 10\,A_b = 10\times 54\sqrt{3} = 540\sqrt{3}\:\text{cm}^2.
Mas
A_\ell = \frac{P\,l}{2} = \frac{36\,l}{2} = 18\,l.
Logo
18\,l = 540\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad l = 30\sqrt{3}\:\text{cm}.

Passo 5

O triângulo formado pela altura h, pela aresta lateral l e pela apótema a é retângulo. Assim,
h = \sqrt{l^2 - a^2} = \sqrt{\bigl(30\sqrt{3}\bigr)^2 - \bigl(3\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{2700 - 27} = \sqrt{2673} = 9\sqrt{33}\:\text{cm}.

Resposta

A altura da pirâmide é 9\sqrt{33}\:\text{cm}.

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